Տրված է {jatex}f(x)=4 \sqrt 2 \cos \left( 3x+{ \large \frac {\pi}{4}} \right) {/jatex} ֆունկցիան։

1. Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ամենամեծ ամբողջ արժեքը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x= {\large \frac {\pi }6 } կետում։{/jatex}

3․ Գտնել {jatex}4 | \cos T |{/jatex} արտահայտության արժեքը, որտեղ {jatex}T{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունն է։

4․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան քանի՞ զրո ունի {jatex}\left[ \frac {\pi}{2}; \frac {3 \pi }2 \right] {/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1․ Գտնենք բոլոր այն {jatex}a{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=a{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}4 \sqrt 2 \cos \left( 3x + \frac {\pi}4 \right) = a{/jatex}

{jatex}\cos \left( 3x+ \frac {\pi }4 \right) = \frac a{4 \sqrt 2 }{/jatex}

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում նախ հարկավոր է, որ {jatex}\left| \frac a{4 \sqrt 2 } \right| \leq 1 {/jatex}:

{jatex}3x + \frac {\pi}4 = \pm \arccos \frac a {4 \sqrt 2 }+ 2\pi k ; k \in Z{/jatex}

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումները ունեն լուծում {jatex}a{/jatex} պարամետրի բոլոր թույլատրելի արժեքների համար։

{jatex}\left| \frac a{4\sqrt 2 } \right| \leq 1{/jatex}

{jatex}|a| \leq 4 \sqrt 2{/jatex}

{jatex}-4 \sqrt 2 \leq a \leq 4 \sqrt 2{/jatex}

{jatex}E(f)=\left[ -4\sqrt 2 ; 4 \sqrt 2 \right]{/jatex}

Քանի որ {jatex}4\sqrt 2 = \sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}{/jatex}, իսկ 32-ը չգերազանցող ամբողջ թվի ամենամեծ քառակուսին 25-ն է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ամենամեծ ամբողջ արժեքը կլինի {jatex}\sqrt{25}=5{/jatex}-ը։

 2․ {jatex}f(x)=4 \sqrt 2 \cos \left( 3x + \frac {\pi}4 \right){/jatex}

{jatex}f'(x)=-4\sqrt 2 \sin \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right) \cdot \left( 3x+ \frac {\pi} 4 \right)'=-12\sqrt 2 \sin \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right) {/jatex}

{jatex}f' \left( - \frac {\pi}6 \right) = -12 \sqrt 2 \sin \left( - \frac {3 \pi}{6}+ \frac {\pi}4 \right) =12 \sqrt 2 \sin \frac {\pi}4=12{/jatex}:

3. Քանի որ {jatex}y=\cos x{/jatex} ֆունկցիան {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական է, ուրեմն {jatex}y=4\sqrt 2 \cos x{/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}y=4\sqrt 2 \cos \left( x+ \frac {\pi }4 \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}f(x)=4\sqrt 2 \cos \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi : 3 = \large \frac {2\pi}{3}{/jatex} պարբերական՝ {jatex}T= \large \frac {2\pi }3{/jatex}:

{jatex}4| \cos T | = 4 \left| \cos{ \large \frac {2\pi}3 } \right| = 4 \left| - \cos \left( \pi - {\large \frac {2\pi }3}\right) \right| = 4 \cdot \large | - \frac 12 | =2{/jatex}

Տրված է {jatex}f(x)=3 \sin {\large \frac{\pi x}{4}}+4 \cos {\large \frac {\pi x}{4}}{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

3․ Քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը։

4․ Գտնել {jatex}F(x)=|f(x)|{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=3 \sin {\large \frac{\pi x}{4}}+4 \cos {\large \frac {\pi x}{4}}{/jatex}

{jatex}\large f(x)=5 \left( \frac 35 \sin \frac {\pi x }{4}+ \frac 45 \cos \frac {\pi x}{4} \right) {/jatex}

Նշանակենք {jatex}\alpha = \arcsin {\large \frac {4}{5}}{/jatex}

Կունենանք {jatex}\sin \alpha = {\large \frac 45}{/jatex} և {jatex}\alpha \in \large \left[ -\frac {\pi}2 ; \frac {\pi}{2} \right] {/jatex}

{jatex}\cos \alpha = \sqrt {1-\sin^2 \alpha }= \large \sqrt {1- \frac {16}{25}}= \frac 35{/jatex}

Կունենանք {jatex}f(x)=5 \left( \cos \alpha \sin {\large \frac {\pi x }{4}}+ \sin \alpha \cos {\frac {\pi x }{4}}\right) = 5 \sin \left( \large \frac {\pi x }{4} + \alpha \right) {/jatex}։

Քանի որ {jatex}y= \sin x {/jatex} ֆունկցիան {jatex}2\pi {/jatex} պարբերական է, ուրեմն {jatex}y=\sin ( x + \alpha ){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}y=5 \sin ( x+ \alpha ){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2 \pi {/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}f(x)=5 \sin \left({ \large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2 \pi : {\large \frac {\pi }4}=8{/jatex} պարբերական՝ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը 8 է։

2. {jatex}f(x)=5 \sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right) \leq 5{/jatex}

{jatex}f \left( - \frac {4 \alpha }{\pi }+2 \right) = 5 \sin \left( \frac {\pi }{4} \cdot \left( - \frac {-4 \alpha }{\pi } + 2 \right) + \alpha \right) = 5 \sin \frac {\pi}{2}=5{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\max f(x)=5{/jatex}

3. Գտնենք բոլոր այն {jatex}b{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=b{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}f(x)=b{/jatex}

{jatex}5 \sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}} + \alpha \right) =b{/jatex}

{jatex}\sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right) = \large \frac {b}{5}{/jatex}

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում նախ հարկավոր է, որ {jatex}{\Large \left| \frac b5 \right|} \leq 1{/jatex}։

 {jatex}{\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha = (-1)^n \arcsin b + \pi n ; n \in Z{/jatex}

Այս գծային հավասարումները ունեն լուծում {jatex}b{/jatex}-ի բոլոր թույլատրելի արժեքների համար։

{jatex}{\large \left| \frac b5 \right| } \leq 1{/jatex}

{jatex}-1 \leq {\large \frac b5 } \leq 1{/jatex}

{jatex}-5 \leq b \leq 5{/jatex}

{jatex}E(f)=[-5; 5]{/jatex}, որում ամբողջ թվերն են {jatex}-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5{/jatex}, այսինքն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը պարունակում է 11 ամբողջ թիվ։

4. Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը {jatex}[-5; 5]{/jatex}  հատվածն է, ուրեմն {jatex}F(x)=|f(x)|{/jatex} արժեքների տիրույթը կլինի {jatex}[0; 5]{/jatex} հատվածը, իսկ փոքրագույն արժեքը կլինի 0-ն։

Պատասխան՝ 8; 5; 11; 0։

Տրված է {jatex}f(x)= 1-2 \sin x \cos x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=\large \frac {\pi}{3}{/jatex} կետում։

3․ Գտնել {jatex}f'(x)=-1{/jatex} հավասարման արմատների քանակը {jatex}\large \left[ - \frac {\pi}{2}; \pi \right]{/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել {jatex}-3 \cdot \cos \large \frac T2{/jatex} արտահայտության արժեքը, որտեղ {jatex}T{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունն է։

Լուծում։

1. {jatex}f(x)=1-2\sin x \cos x = 1-\sin 2x{/jatex}

Քանի որ {jatex}\sin 2x \geq -1{/jatex}, ուրեմն {jatex}-\sin 2x \leq 1{/jatex}, ուրեմն {jatex}f(x)=1-\sin 2x \leq 2{/jatex}:

{jatex}f \left( - \frac {\pi}4 \right) = 1- \sin \left( -\frac {\pi}{2} \right) =1-(-1)=2{/jatex}

 {jatex}\max f(x)=2{/jatex}

2. {jatex}f(x)=1-\sin 2x{/jatex}

{jatex}f'(x)=-2 \cos 2x{/jatex}

{jatex}f' \left( \frac {\pi}{3} \right) = -2 \cos \frac {2 \pi}{3}= \cos \left( \pi - \frac {2\pi }{3} \right) = 2 \cdot 0,5=1{/jatex}

3. {jatex}f'(x)=-1{/jatex}

{jatex}-2 \cos 2x = -1{/jatex}

{jatex}\cos 2x = 0,5{/jatex}

{jatex}2x= \pm \frac {\pi}{3}+ 2 \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}x = \pm \frac {\pi}{3}+ \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}\left[  \begin{aligned}
&x =  \frac {\pi}{3}+ \pi k ; k \in Z\\
& x = - \frac {\pi}{3}+ \pi n ; n \in Z
\end{aligned}  \right. {/jatex}

Գտնենք բոլոր {jatex}k;n{/jatex} թվերը, որոնց համար լուծումը գտնվում է {jatex}\large \left[- \frac {\pi}2; \pi \right]{/jatex} միջակայքում։

{jatex}\large - \frac {\pi}{2} \leq \frac {\pi}{6}+ \pi k \leq \pi ; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2\pi}{3} \leq \pi k \leq \frac {5\pi }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2 \pi }{3} \leq \pi k \leq \frac {5\pi }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2}{3} \leq k \leq \frac {5 }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}k=0{/jatex}

{jatex}\large - \frac {\pi}{2} \leq  - \frac {\pi}{6} + \pi n \leq \pi{/jatex}

{jatex}\large - \frac {\pi}{3} \leq \pi n \leq \frac {7 \pi }{6}{/jatex}

{jatex}\large - \frac 13 < n < \frac 76{/jatex}

{jatex}n=0; 1{/jatex}

Ստացվեց, որ բավարարում են {jatex}k=0; n=0; n=1{/jatex} դեպքերով ստացվող արմատները։ Քանակը կլինի 3 հատ։

4. {jatex}T= \pi{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի պարբերություն է, քանի որ 

1) {jatex}x \in D(f) \implies x \pm T \in D(f){/jatex} և

2) {jatex}f(x \pm \pi ) = 1-\sin2(x \pm \pi )= 1-\sin (2x \pm 2 \pi )=1-\sin 2x=f(x){/jatex}

{jatex}t{/jatex} թիվը, որը բավարարում է {jatex}0<t< \pi {/jatex} պայմանին, չի կարող լինել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի պարբերություն, քանի որ կունենանք

{jatex}0< t < \pi {/jatex}

{jatex}0 < 2t < 2 \pi {/jatex}

{jatex}\cos 2t < 1{/jatex}

{jatex}- \cos 2t > -1{/jatex}

{jatex}f\left( \frac {\pi }{4}+ t \right) =1- \sin 2 \left( \frac {\pi}{4}+ t \right) = 1-\sin \left( \frac {\pi}{2}+ 2t \right)=1-\cos 2t >1+(-1)=0{/jatex}, այսինքն

 {jatex}f \left( \frac {\pi}4 +t \right) >0{/jatex}, բայց

{jatex}f\left( \frac {\pi}{4}\right) = 1-\sin \frac {\pi}2=0{/jatex},

{jatex}f \left( \frac { \pi }4 +t \right) > f\left( \frac {\pi}{4}\right) {/jatex} որն էլ ապացուցում է, որ {jatex}T=\pi{/jatex}-ն ամենափոքր դրական պարբերութկունն է։

{jatex}-3 \cos \frac T2 = -3 \frac {\pi}2 =0{/jatex}

Պատասխան՝ 2; 1; 3; 0։

Կատարել առաջադրանքները․

1․ {jatex}y=2x-9{/jatex} ուղիղը շոշափում է {jatex}f(x)=x^2-4x{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գտնել շոշափման կետի աբսցիսը։

2. Գտնել {jatex}f(x)=e^x-x{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

3․ Գտնել {jatex}f(x)=3x^2-6x+13{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}[-3; 0]{/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել {jatex}a{/jatex}-ի ամենափոքր արժեքը, որի դեպքում {jatex}f(x)={\large \frac {x^3}{3}}-3x^2+ax+7{/jatex} ֆունկցիան աճող է ամբողջ թվային առանցքի վրա։

Լուծում։

1․ Շոշափելու պայմանի տեղի ունենալու համար նախ հարկավոր է, որ նրանց ածանցյալները լինեն հավասար․

{jatex} \left( x^2-4x \right)' = (2x-9)'{/jatex}

{jatex}2x-4=2{/jatex}

{jatex}2x=6{/jatex}

{jatex}x=3{/jatex}

Այնուհետև հարկավոր է, որ ածանցյալները հավասար լինելու կետում նրանց արժեքներն էլ լինեն հավասար․

{jatex}y(3)=2 \cdot 3-9=-3{/jatex}

{jatex}f(3)=3^2-4\cdot 3=-3{/jatex}

{jatex}-3=-3{/jatex}-ը ճշմարիտ հավասարություն է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի և {jatex}y=2x-9{/jatex} ուղղի շոշափման կետը {jatex}x=3{/jatex}-ն է։

2․ {jatex}f(x)=e^x-x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}D(f)=(- \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=e^x-1{/jatex}, որը իմաստ ունի {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր ներքին կետերում։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}e^x-1=0{/jatex}

{jatex}e^x=1{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex}, որը {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-1)=e^{-1}-1={\large \frac 1e }-1<0{/jatex}

{jatex}f'(1)=e-1>0{/jatex}

{jatex}\max f(x)=f(0)=e^0-0=1{/jatex}

3. {jatex}f(x)=3\left( x^2-2x+1 \right)-3+13=3(x-1)^2+10{/jatex}

{jatex}f'(x)=6(x-1){/jatex}, որը բացասական է {jatex}[-3; 0]{/jatex} հատվածում, ուրեմն {jatex}[-3;0]{/jatex} միջակայքում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան նվազում է։

{jatex}\min \limits_{[-3; 0]}f(x)=f(0)=3(0-1)^2+10=13{/jatex}

4. {jatex}f'(x)=x^2-6x+a=x^2-6x+9+a-9=(x-3)^2+a-9{/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան կլինի աճող ամբողջ թվային առանցքի վրա, եթե բոլոր {jatex}x{/jatex}-երի համար {jatex}f'(x) \geq 0{/jatex} և {jatex}f(x)=0{/jatex} հավասարությունը տեղի ունենա վերջավոր քանակով կետերում, որն էլ իր հերթին տեղի կունենա, եթե

{jatex}a-9 \geq 0{/jatex}

{jatex}a \geq 9{/jatex}, որին բավարարող {jatex}a{/jatex}-ի ամենափոքր արժեքը կլինի {jatex}a=9{/jatex}-ը։

Պատասխան՝ 3; 1; 13; 9։

Տրված է {jatex}f(x)=x+\large \frac 4x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}{\large \frac {f(x)}{f(-x)}}+4{/jatex} արտահայտության արժեքը։

2․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի և {jatex}y=5{/jatex} ուղղի հատման կետերի քանակը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}(0 ; +\infty ){/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի մինիմումի կետերի քանակը։

Լուծում։

1․ Նկատենք, որ {jatex}\large f(-x)=-x+\frac 4{-x}=-\left( x+ \frac 4x \right) = -f(x){/jatex}:

Կունենանք.

{jatex}\large \frac {f(x)}{f(-x)}+4=\frac {f(x)}{-f(x)}+4=-1+4=3{/jatex}:

2. {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի և {jatex}y=5{/jatex} ուղղի հատման կետերի աբսցիսները բավարարում են {jatex}f(x)=5{/jatex} հավասարմանը։

{jatex}f(x)=5{/jatex}

{jatex}x+{\large \frac 4x}=5{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2+4 =5x \\
&x \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2-5x+4=0 \\
& x \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Լուծենք առանձին

{jatex}x^2-5x+4=0{/jatex}

{jatex}D=25-4\cdot 1 \cdot 4=9{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {5-3}{2}=1 \quad x_2=\frac {5+3}{2}=4{/jatex}

{jatex}x \in \{ 1; 4 \}{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x \in \{ 1; 4 \} \\
& x \neq 0 
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

{jatex}x \in \{ 1 ; 4 \}{/jatex}

Ստացանք երկու լուծում, ուրեմն հատման կետերի քանակը 2 հատ է։

3․ Քանի որ {jatex}(0;+\infty ){/jatex} միջակայքում {jatex}x>0{/jatex}, ուրեմն այդ միջակայքում

{jatex}\large f(x)= x+ \frac 4x=\left( \sqrt x \right)^2+ \left( \frac 2{\sqrt x }\right) ^2-2\sqrt x \cdot \frac 2{\sqrt x }+4={/jatex}

{jatex}\large =\left( \sqrt x - \frac 2{\sqrt x}\right)^2+4 \geq 4{/jatex}

{jatex}f(2)=\left( \sqrt 2 - \frac 2 {\sqrt 2}\right)^2+4=4{/jatex} 

{jatex}\min \limits_{(0; + \infty )} f(x)=4{/jatex}

4. {jatex}f(x)=x+ \large \frac 4x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}x \neq 0{/jatex}

{jatex}D(f)=(-\infty ; 0) \cup (0; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)= 1- \large \frac 4{x^2}{/jatex}, որը իմաստ չունի, երբ {jatex}x=0{/jatex}, որը որոշման տիրույթի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}1- \large \frac 4{x^2}=0{/jatex}

{jatex}1= \frac 4{x^2}{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2 \cdot 1 =4 \\
& x^2 \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x= \pm 2 \\
& x \neq 0
\end{aligned} \right. {/jatex}

{jatex}x = \pm 2{/jatex}, որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-3)=1-\frac 4{3^2}=\frac 59>0{/jatex}

{jatex}f'(-1)=1-\frac 4{1^2}=-3<0{/jatex}

{jatex}f'(1)=1-\frac 4{1^2}=-3<0{/jatex}

{jatex}f'(-3)=1-\frac 4{3^2}=\frac 59>0{/jatex}

{jatex}x_{\max }=-2, \quad x_{\min }= 2{/jatex}

Մինիմումի կետերի քանակը ստացվեց մեկ հատ։

Պատասխան՝ 3; 2; 4; 1։

Տրված է {jatex}f(x)= \large \frac {x+4}{x+2}{/jatex} ֆունկցիան։

1. Գտնել {jatex}x{/jatex}-ի բոլոր այն ամբողջ արժեքների քանակը, որոնց դեպքում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքները դրական չեն։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի քանակը։

3․ Գտնել բոլոր այն թվերի քանակը, որոնք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեք չեն։

4․ Գտնել {jatex}y=f(|x|){/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x) \leq 0{/jatex}

{jatex}{\large \frac {x+4}{x+2}}\leq 0{/jatex}

{jatex}x \in [-4; -2){/jatex}

{jatex}[-4; -3){/jatex} միջակայքի ամբողջ թվերն են -4; -3 թվերը։ Քանակը կլինի 2 հատ։

2․ {jatex}\large f(x)=\frac {x+4}{x+2}=\frac {x+2+2}{x+2}=1+ \frac 2{x+2}{/jatex}

{jatex}x+2 \neq 0{/jatex}

{jatex}x \neq -2{/jatex}

{jatex}D(f)=(- \infty ; -2) \cup (-2; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)= \frac {-2}{(x+2)^2}{/jatex} որը իմաստ չունի, երբ

{jatex}(x+2)^2=0{/jatex}

{jatex}x+2=0{/jatex}

{jatex}x=-2{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։

{jatex}{ \large \frac {-2}{(x+2)^2} }=0{/jatex} որը լուծում չունի, քանի որ հավասարման ձախ մասի կոտորակի համարիչը չի կարող հավասարվել 0-ի։

{jatex}x \in \emptyset {/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան չունի կրիտիկական կետ՝ կրիտիկական կետերի քանակը 0 է։

3․ Գտնենք բոլոր այն {jatex}a{/jatex}-երը, որոնց դեպքում {jatex}f(x)=a{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}{\large \frac{x+4}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac{x+2+2}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}1+{\large \frac {2}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac 2{x+2}}=a-1{/jatex}

որի լուծում ունենալու համար նախ հարկավոր է, որ {jatex}a-1 \neq 0{/jatex}

{jatex}\frac 2{x+2}=a-1{/jatex}

{jatex}\left\{
\begin{aligned}
& x+2=\large \frac 2{a-1} \\
& x+2 \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{
\begin{aligned}
& x={\large \frac 2{a-1}} -2 \\
& x \neq -2
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Այնուհետև լուծում ունենալու համար հարկավոր է, որ 

{jatex}{\large \frac 2{a-1}}-2 \neq -2{/jatex}

Կազմենք համակարգ

{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& {\large \frac 2{a-1}} -2 \neq -2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& {\large \frac 2{a-1}}  \neq 0
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& 0(a-1) \neq 2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a \neq 1 \\
& 0a \neq 2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}

{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a \neq 1 \\
& a \in R
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}

 {jatex}a \neq 1{/jatex}

{jatex}a \in (-\infty ; 1 ) \cup (1; + \infty ){/jatex}

{jatex}E(f)= (-\infty ; 1 ) \cup (1; + \infty ){/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեք չէ միայն {jatex}y=1{/jatex} թիվը։

4․ {jatex}f(|x|)=1+ \large \frac 2{|x|+2}{/jatex}

Քանի որ {jatex}|x|+2 \geq 2{/jatex} և {jatex}y= {\large \frac 2x}; (0:+ \infty ) {/jatex} ֆունկցիան նվազող է, ուրեմն․

{jatex}\large \frac {2}{|x|+2} \leq \frac 22{/jatex}

{jatex}1+ {\large \frac {2}{|x|+2}} \leq 2{/jatex}

{jatex}f(|x|) \leq 2{/jatex}, նկատենք նաև, որ

{jatex}f(|0|)=1+\frac 2{|0|+2}=2{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\max f(|x|)=2{/jatex}

Պատասխան՝ 2; 0; 1; 2։

Տրված է {jatex}f(x)=|x-3|-x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=0{/jatex} կետում։

2․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=4{/jatex} կետում։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկով և կոորդինատական առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսի քառապատիկը։

4․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների գումարը {jatex}[-1; 5]{/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=|x-3|-x{/jatex}

{jatex}f(0)=|0-3|-0=3{/jatex}

2. {jatex}f'(x)=    \begin{cases}
& (x-3-x)' \text{ երբ } x>3 \\
& (-x+3-x)' \text{ երբ } x<3 \\
& \text{իմաստ չունի, երբ } x=3
\end{cases}=    \begin{cases}
& 0 \text{ երբ } x>3 \\
& -2 \text{ երբ } x<3 \\
& \text{իմաստ չունի, երբ } x=3
\end{cases}{/jatex}

{jatex}f'(4)=0{/jatex}

3․ Գտնենք կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը․

{jatex}x \geq 3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f(x)=x-3-x=-3<0{/jatex}

Այդ արժեքների համար աբսցիսների առանցքի հետ հատում չի լինի։

{jatex}x<3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f(x)=-x+3-x=3-2x{/jatex}

{jatex}x<3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը հատում է աբսցիսների առանցքը, երբ {jatex}3-2x=0{/jatex}

{jatex}2x=3{/jatex}

{jatex}x=1,5{/jatex} և որը հատում է օրդինատների առանցքը, երբ {jatex}x=0; f(x)=f(0)=|0-3|+0=3{/jatex}:

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան կոորդինատային առանցքները հատում է {jatex}(0;3){/jatex} և {jatex}(1,5;0){/jatex} կետերում։

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի ուղղանկյուն եռանկյուն, որի էջերը հավասար են 1,5 և 3, իսկ մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 1,5 \cdot 3= \frac 94{/jatex}:

Մակերեսի քառապատիկը կլինի հավասար

{jatex}{\large \frac 94} \cdot 4 =9{/jatex}:

4. Քանի որ {jatex}y=-2x+3{/jatex} ֆունկցիան նվազող է, իսկ {jatex}y=-3{/jatex} ֆունկցիան չաճող ֆունկցիա է և նրանք {jatex}x=3{/jatex} կետում ընդունում են նույն արժեքը, ուրեմն {jatex}y=f(x){/jatex} ֆունկցիան չաճող ֆունկցիա է, ուրեմն

{jatex}\max \limits_{[-1; 5]} f(x)=f(-1)=-2 \cdot (-1)+3=5{/jatex}

{jatex}\min \limits_{[-1;5]}f(x)=f(5)=-3{/jatex}

Այդ արժեքների գումարը կլինի հավասար 5+(-3)=2:

Պատասխան՝ 3; 0; 9; 2։