Տրված է {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը x=2 կետում։

2․ Գտնել ֆունկցիայի նվազման միջակայքի երկարությունը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [-2; 0] միջակայքում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի x0=0 աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex}

{jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex}

{jatex}x=2{/jatex} կետում {jatex}f'(x)=f'(2)=6\cdot 2^2-6=18{/jatex}

2. {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը․

{jatex}D(f)=( - \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}6x^2-6=0{/jatex}

{jatex}6x^2=6{/jatex}

{jatex}x^2=1{/jatex}

{jatex}x= \pm 1{/jatex} որոնք որոշման տիրույթի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

{jatex}D(f){/jatex}-ը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և հաշվենք ածանցյալի արժեքը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-2)=6\cdot (-2)^2-6=18>0{/jatex}

{jatex}f'(0)=6 \cdot 0 -6=-6<0{/jatex}

{jatex}f'(2)=6 \cdot 2^2-6=18>0{/jatex}

Նվազման միջակայքի երկարությունը կլինի հավասար 1-(-1)=2:

3․ Ստացված պատկերից երևում է, որ ֆունկցիան աճում է [-2;-1] միջակայքում, նվազում [-1; 0] միջակայքում, ուրեմն {jatex}\max \limits_{[-2; 0]}=f(-1)=2 \cdot (-1)^3 -6 \cdot (-1)+6=10{/jatex}:

4. Արդեն հաշվել ենք {jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex}

{jatex}f'(0)=-6{/jatex}

{jatex}f(0)=6{/jatex}

{jatex}x_0=0{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(0)(x-0)+f(0){/jatex}

{jatex}y=-6x+6{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex} դեպքում {jatex}y=6{/jatex} և {jatex}y=0{/jatex} դեպքում {jatex}x=1{/jatex}, ուրեմն նշված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի 6 և 1 երկարությամբ էջեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյուն, որի մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 6 \cdot 1=3{/jatex}:

Պատ․՝ 18; 2; 10; 3։

Տրված է {jatex}\large f(x)= \frac {x^3}3 - \frac {x^2}2 -6x+1{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել f ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող ամենափոքր բնական թիվը։

2․ Գտնել f'(x)=0 հավասարման մեծ արմատը։

3․ Գտնել f ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի հեռավորությունը։

4․ Գտնել f ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [-1; 6] միջակայքում։

Լուծում։

1․ {jatex}\large f(x)= \frac {x^3}3- \frac {x^2}2 -6x+1{/jatex}

{jatex}D(f)=(- \infty ; + \infty ){/jatex} որում ամենափոքր բնական թիվը 1-ն է։

2․ {jatex}\large f(x) = \frac {x^3}3- \frac {x^2}2-6x+1{/jatex}

{jatex}f'(x)=x^2-x-6{/jatex}

Լուծենք f'(x)=0 հավասարումը․

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}x^2-x-6=0{/jatex}

{jatex}D= 1^2-4 \cdot 1 \cdot (-6) =25{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {1- 5}{2}=-2 \quad x_2= \frac{1+5}2=3{/jatex}

{jatex}x \in \{ -2; 3 \}{/jatex} որոնցից մեծը 3-ն է։

3․ Արդեն գիտենք, որ

{jatex}D(f)= (- \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=x^2-x-6{/jatex}, որը իմաստ ունի բոլոր իրական թվերի համար։

{jatex}f'(x)=0 \Leftrightarrow x \in \{ -2; 3 \} {/jatex} որոնք որոշման տիրույթի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Կրիտիկական կետերի հեռավորությունը կլինի․

3-(-2)=5

4. Գտնենք f ֆունկցիայի արժեքները [-1; 6] հատվածի կրիտիկական կետերում և ծայրակետերում։

{jatex}\large f(-1)= \frac {(-1)^3}{3} - \frac {(-1)^2}2-6\cdot (-1)+1=6 \frac 16{/jatex}

 {jatex}\large f(3)= \frac {3^3}3 - \frac {3^2}2-6\cdot 3 +1=-12,5{/jatex}

{jatex}\large f(6)= \frac {6^3}3 -\frac {6^2}2- 6 \cdot 6 + 1= 19{/jatex}

{jatex}\max \limits_{[-1; 6]} f(x)=f(6)=19{/jatex}

Պատ․՝ 1; 3; 5; 19։

Տրված է {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} Ֆունկցիան։

1. Գտնել ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=3{/jatex} կետում։

2․ Հաշվել {jatex}f'(x){/jatex}-ը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը {jatex}[-1;3]{/jatex} հատվածում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=1{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի և {jatex}Oy{/jatex} առանցքի կազմած անկյան աստիճանային չափը։

Լուծում։

1․ {jatex}x=3{/jatex} կետում {jatex}f(x)=f(3)=2\cdot 3^3-3 \cdot 3^2-7=20{/jatex}

2. {jatex}f'(x)=\left( 2x^3-3x^2-7 \right)' = 6x^2-6x{/jatex}

{jatex}f'(1)=6 \cdot 1^2-6 \cdot 1 = 0{/jatex}

3. Գտնենք {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը․

{jatex}D(f)=(-\infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=\left( 2x^3-3x^2-7 \right)' = 6x^2-6x{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}6x^2-6x=0{/jatex}

{jatex}6x(x-1)=0{/jatex}

{jatex} \left[ \begin{aligned}
& x=0  \\
& x-1=0
\end{aligned} \right.{/jatex} {jatex}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0  \\
& x=1
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}x \in \{ 0; 1 \}{/jatex} որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Հաշվենք {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} ֆունկցիայի արժեքները {jatex}[-1; 3]{/jatex} հատվածի ծայրակետերում և այդ հատվածի կրիտիկական կետերում։

{jatex}f(-1)=2\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2-7=-12{/jatex}

 {jatex}f(0)=2 \cdot 0^3-3\cdot 0^2-7=-7{/jatex}

{jatex}f(1)=2\cdot 1^3 -3 \cdot 1^2 -7=-8{/jatex}

{jatex}f(3)=2 \cdot 3^3 - 3\cdot 3^2 -7=20{/jatex}

{jatex}\max \limits_{[-1;3]}f(x)=f(3)=20{/jatex}

4. Արդեն ունենք

{jatex}f(1)=-8; \quad f'(1)=0{/jatex}

{jatex}x_0=1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(1)(x-1)+f(1){/jatex}

{jatex}y=0(x-1)+8{/jatex}

{jatex}y=8{/jatex}

Որն ուղղահայաց է {jatex}Oy{/jatex} առանցքին՝ կազմած անկյան աստիճանային չափը 90 է։

 Պատ․՝ 20; 0; 20; 90։