Տրված է {jatex}f(x)=-x^4+4x^2+9{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

2․ Քանի՞ հատման կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկն աբսցիսների առանցքի հետ։

3․ Քանի՞ կրիտիկական կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան։

4․ Քանի՞ մինիմումի կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=- \left( x^4-4x^2+4 \right) + 13={/jatex}

{jatex}=13- \left( x^2-2 \right) ^2 \leq 13{/jatex}

{jatex}f \left( \sqrt 2 \right) = 13- \left( \sqrt 2 ^2 -2 \right)^2=13{/jatex}

Ուրեմն ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 13-ն է։

2․ Աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար լուծենք {jatex}f(x)=0{/jatex} հավասարումը։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}13- \left( x^2-2 \right) ^2 =0{/jatex}

{jatex}\left( x^2-2 \right)^2=13{/jatex}

{jatex}x^2-2= \pm \sqrt{13}{/jatex}

{jatex}x^2=2 \pm \sqrt {13}{/jatex}

Նկատենք, որ {jatex}2-\sqrt{13}=\sqrt 4 - \sqrt{13}{/jatex}-ը բացասական թիվ է։ {jatex}x^2=2-\sqrt {13}{/jatex} հավասարումը լուծում չունի։

{jatex}x^2=2+ \sqrt{13}{/jatex}

{jatex}x= \pm \sqrt {2+\sqrt {13}}{/jatex}

Ունի երկու լուծում, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը աբսցիսների առանցքը հատում է երկու կետում։

3․ Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}f(x)=x^4+4x^2+9{/jatex}

{jatex}D(f)=( - \infty ; + \infty ){/jatex}

 {jatex}f'(x)=-4x^3+8x{/jatex}, որը որոշման տիրույթի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}-4x^3+8x=0{/jatex}

{jatex}-4x\left( x^2-2 \right)=0{/jatex}

{jatex}-4x \left( x- \sqrt 2 \right) \left( x+ \sqrt 2 \right)=0{/jatex}

{jatex}x \in \left \{ - \sqrt 2 ; 0 ; \sqrt 2 \right \}{/jatex} որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Կրիտիկական կետերի քանակը ստացվեց 3։

4․ Արդեն գտել ենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը և կրիտիկական կետերը։

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(x)=-4x^3+8x{/jatex}

{jatex}f'(-2)=-4 \cdot (-2)^3+8 \cdot (-2)=16>0{/jatex}

{jatex}f'(-1)=-4 \cdot (-1)^3+8 \cdot (-1)=-4<0{/jatex}

{jatex}f(1)=-4 \cdot 1^3+8 \cdot 1 =4>0{/jatex}

 {jatex}f(2)=-4 \cdot 2^3 +8 \cdot 2=-16<0{/jatex}

{jatex}\large x_{min}=0 \quad x_{max}=-\sqrt 2 \quad x_{max}=\sqrt 2{/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ունի մեկ մինիմումի կետ։

Պատասխան՝ 13; 2; 3; 1։