Տրված է {jatex}f(x)=x^3-6x^2+9x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի զրոների քանակը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի քանակը։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մինիմումի կետը։

4․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը միջակայքում։

Լուծում։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}x^3-6x^2+9x=0{/jatex}

 {jatex}x \left( x^2 - 2\cdot 3x +3^2 \right)=0{/jatex}

{jatex}x(x-3)^2=0{/jatex}

{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x =0 \\
& (x-3)^2 =0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x-3=0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

{jatex}x \in \{ 0 ; 3 \}{/jatex}

Զրոների քանակը ստացվեց 2 հատ։

2․ {jatex}f(x)=x^3-6x^2+9x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը։

{jatex}D(f)=( - \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=3x^2-12x+9{/jatex}, որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}3x^2-12x+9=0{/jatex}

{jatex}x^2-4x+3=0{/jatex}

{jatex}D=16-4 \cdot 1 \cdot 3=4{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {4-2}2=1 \quad x_2= \frac {4+2}2=3{/jatex}

 {jatex}x \in \{ 1 ; 3 \}{/jatex}, որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Կրիտիկական կետերի քանակը ստացվեց 2 հատ։

3. {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(0)=3 \cdot 0^2 -12 \cdot 0+9=9>0{/jatex}

{jatex}f'(2)=3\cdot 2^2- 12 \cdot 2 +9=-3<0{/jatex}

{jatex}f'(4)=3 \cdot 4 ^2-12 \cdot 4+9=9>0{/jatex}

{jatex}x_{min}=3, \quad x_{max}=1{/jatex}

Ֆունկցիայի մինիմումի կետը ստացվեց 3-ը։

4. Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [1; 5] հատվածում։ Այն հավասար է այդ հատվածի ծայրակետերի և կրիտիկական կետերի ֆունկցիայի արժեքներից մեծագույնին։

{jatex}f(1)=1-6+9=4{/jatex}

{jatex}f(5)=5^3-6\cdot 5^2+9 \cdot 5=20{/jatex}

Քանի որ {jatex}x=3{/jatex} կրիտիկական կետը մինիմումի կետ է, ուրեմն {jatex}\max  \limits_{[1;5]} f(x) \neq f(3){/jatex}:

{jatex}\max \limits_{[1; 5]}f(x) =f(5)=20{/jatex}

Պատասխան՝ 2; 2; 3; 20։