Տրված է {jatex}f(x)= 1-2 \sin x \cos x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=\large \frac {\pi}{3}{/jatex} կետում։

3․ Գտնել {jatex}f'(x)=-1{/jatex} հավասարման արմատների քանակը {jatex}\large \left[ - \frac {\pi}{2}; \pi \right]{/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել {jatex}-3 \cdot \cos \large \frac T2{/jatex} արտահայտության արժեքը, որտեղ {jatex}T{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունն է։

Լուծում։

1. {jatex}f(x)=1-2\sin x \cos x = 1-\sin 2x{/jatex}

Քանի որ {jatex}\sin 2x \geq -1{/jatex}, ուրեմն {jatex}-\sin 2x \leq 1{/jatex}, ուրեմն {jatex}f(x)=1-\sin 2x \leq 2{/jatex}:

{jatex}f \left( - \frac {\pi}4 \right) = 1- \sin \left( -\frac {\pi}{2} \right) =1-(-1)=2{/jatex}

 {jatex}\max f(x)=2{/jatex}

2. {jatex}f(x)=1-\sin 2x{/jatex}

{jatex}f'(x)=-2 \cos 2x{/jatex}

{jatex}f' \left( \frac {\pi}{3} \right) = -2 \cos \frac {2 \pi}{3}= \cos \left( \pi - \frac {2\pi }{3} \right) = 2 \cdot 0,5=1{/jatex}

3. {jatex}f'(x)=-1{/jatex}

{jatex}-2 \cos 2x = -1{/jatex}

{jatex}\cos 2x = 0,5{/jatex}

{jatex}2x= \pm \frac {\pi}{3}+ 2 \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}x = \pm \frac {\pi}{3}+ \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}\left[  \begin{aligned}
&x =  \frac {\pi}{3}+ \pi k ; k \in Z\\
& x = - \frac {\pi}{3}+ \pi n ; n \in Z
\end{aligned}  \right. {/jatex}

Գտնենք բոլոր {jatex}k;n{/jatex} թվերը, որոնց համար լուծումը գտնվում է {jatex}\large \left[- \frac {\pi}2; \pi \right]{/jatex} միջակայքում։

{jatex}\large - \frac {\pi}{2} \leq \frac {\pi}{6}+ \pi k \leq \pi ; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2\pi}{3} \leq \pi k \leq \frac {5\pi }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2 \pi }{3} \leq \pi k \leq \frac {5\pi }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}\large - \frac {2}{3} \leq k \leq \frac {5 }{6}; \quad k \in Z{/jatex}

{jatex}k=0{/jatex}

{jatex}\large - \frac {\pi}{2} \leq  - \frac {\pi}{6} + \pi n \leq \pi{/jatex}

{jatex}\large - \frac {\pi}{3} \leq \pi n \leq \frac {7 \pi }{6}{/jatex}

{jatex}\large - \frac 13 < n < \frac 76{/jatex}

{jatex}n=0; 1{/jatex}

Ստացվեց, որ բավարարում են {jatex}k=0; n=0; n=1{/jatex} դեպքերով ստացվող արմատները։ Քանակը կլինի 3 հատ։

4. {jatex}T= \pi{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի պարբերություն է, քանի որ 

1) {jatex}x \in D(f) \implies x \pm T \in D(f){/jatex} և

2) {jatex}f(x \pm \pi ) = 1-\sin2(x \pm \pi )= 1-\sin (2x \pm 2 \pi )=1-\sin 2x=f(x){/jatex}

{jatex}t{/jatex} թիվը, որը բավարարում է {jatex}0<t< \pi {/jatex} պայմանին, չի կարող լինել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի պարբերություն, քանի որ կունենանք

{jatex}0< t < \pi {/jatex}

{jatex}0 < 2t < 2 \pi {/jatex}

{jatex}\cos 2t < 1{/jatex}

{jatex}- \cos 2t > -1{/jatex}

{jatex}f\left( \frac {\pi }{4}+ t \right) =1- \sin 2 \left( \frac {\pi}{4}+ t \right) = 1-\sin \left( \frac {\pi}{2}+ 2t \right)=1-\cos 2t >1+(-1)=0{/jatex}, այսինքն

 {jatex}f \left( \frac {\pi}4 +t \right) >0{/jatex}, բայց

{jatex}f\left( \frac {\pi}{4}\right) = 1-\sin \frac {\pi}2=0{/jatex},

{jatex}f \left( \frac { \pi }4 +t \right) > f\left( \frac {\pi}{4}\right) {/jatex} որն էլ ապացուցում է, որ {jatex}T=\pi{/jatex}-ն ամենափոքր դրական պարբերութկունն է։

{jatex}-3 \cos \frac T2 = -3 \frac {\pi}2 =0{/jatex}

Պատասխան՝ 2; 1; 3; 0։