Տրված է {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը x=2 կետում։

2․ Գտնել ֆունկցիայի նվազման միջակայքի երկարությունը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [-2; 0] միջակայքում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի x0=0 աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex}

{jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex}

{jatex}x=2{/jatex} կետում {jatex}f'(x)=f'(2)=6\cdot 2^2-6=18{/jatex}

2. {jatex}f(x)=2x^3-6x+6{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը․

{jatex}D(f)=( - \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}6x^2-6=0{/jatex}

{jatex}6x^2=6{/jatex}

{jatex}x^2=1{/jatex}

{jatex}x= \pm 1{/jatex} որոնք որոշման տիրույթի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

{jatex}D(f){/jatex}-ը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և հաշվենք ածանցյալի արժեքը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-2)=6\cdot (-2)^2-6=18>0{/jatex}

{jatex}f'(0)=6 \cdot 0 -6=-6<0{/jatex}

{jatex}f'(2)=6 \cdot 2^2-6=18>0{/jatex}

Նվազման միջակայքի երկարությունը կլինի հավասար 1-(-1)=2:

3․ Ստացված պատկերից երևում է, որ ֆունկցիան աճում է [-2;-1] միջակայքում, նվազում [-1; 0] միջակայքում, ուրեմն {jatex}\max \limits_{[-2; 0]}=f(-1)=2 \cdot (-1)^3 -6 \cdot (-1)+6=10{/jatex}:

4. Արդեն հաշվել ենք {jatex}f'(x)=6x^2-6{/jatex}

{jatex}f'(0)=-6{/jatex}

{jatex}f(0)=6{/jatex}

{jatex}x_0=0{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(0)(x-0)+f(0){/jatex}

{jatex}y=-6x+6{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex} դեպքում {jatex}y=6{/jatex} և {jatex}y=0{/jatex} դեպքում {jatex}x=1{/jatex}, ուրեմն նշված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի 6 և 1 երկարությամբ էջեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյուն, որի մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 6 \cdot 1=3{/jatex}:

Պատ․՝ 18; 2; 10; 3։