Տրված է {jatex}f(x)=8 \sqrt{x-2}-x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆուկցիայի որոշման տիրույթի ամենափոքր թիվը։

2․ Քանի՞ կրիտիկական կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

4․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=3{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=8 \sqrt{x-2}-x{/jatex}

{jatex}x-2 \geq 0{/jatex}

{jatex}x \geq 2{/jatex}

{jatex}D(f)=[2; + \infty ){/jatex}

Որոշման տիրույթի ամենափոքր թիվը 2-ն է։

 2․ Գտնենք կրիտիկական կետերը․

{jatex}f'(x)={\large \frac 8{2\sqrt{x-2}}}-1={\large \frac 4{\sqrt{x-2}}}-1{/jatex}

Որը որոշման տիրույթում իմաստ չունի, երբ

{jatex}\sqrt{x-2}=0{/jatex} 

{jatex}x-2=0{/jatex}

{jatex}x=2{/jatex}, որը որոշման տիրույթի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։

 {jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}{\large \frac 4 {\sqrt{x-2}}}-1=0{/jatex} 

{jatex}{\large \frac 4{\sqrt{x-2}}}=1{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
&4 = \sqrt{x-2} \\
& \sqrt{x-2} \neq 0
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}\sqrt{x-2}=4{/jatex}

{jatex}x-2=16{/jatex}

{jatex}x=18{/jatex}, որը որոշման տիրույթի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

Կրիտիկական կետերի քանակը ստացվեց 1 հատ։

3. Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

 

{jatex}f'(3)={ \large \frac 4{\sqrt{3-2}}}-1=3>0{/jatex}

{jatex}f'(27)={ \large \frac 4 {\sqrt{27-2}}}-1={\large - \frac 15}<0{/jatex}

{jatex}\max f(x)=f(18)=8\sqrt{18-2}-18=14{/jatex}

 4. Արդեն հաշվել ենք, որ {jatex}f'(3)=3{/jatex}, որը հենց {jatex}x_0=3{/jatex} կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցն է։

Պատասխան՝ 2; 1; 14; 3։

Կատարել առաջադրանքները․

1․ Գտնել {jatex}f(x)=\sqrt{x+13}+\sqrt{15-x}{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի գումարը։

2․ Գտնել {jatex}f(x)= \large \frac{10}{2+x^4}{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

3․ Գտնել {jatex}f(x)= \sqrt{17-x^2}{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը։

4․ Գտնել {jatex}f(x)= \sin \left( \frac {\pi}{10} x \right){/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը։

Լուծում։

1. {jatex}f(x)=\sqrt{x+13}+\sqrt{15-x}{/jatex}

{jatex}\left\{\begin{aligned}
& x+13 \geq 0 \\
& 15-x \geq 0
\end{aligned}\right. \quad {/jatex}{jatex}\left\{\begin{aligned}
& x \geq -13 \\
& x \leq 15
\end{aligned}\right.{/jatex}

{jatex}D(f)=[-13 ; 15]{/jatex}

Որոշման տիրույթի 0; -1; 1; -2; 2; ․․․; -13; 13 ամբողջ թվերի գումարը 0 է, ուրեմն որոշման տիրույթի ամբողջ թվերի գումարը կլինի հավասար 14+15=29։

2․ Քանի որ {jatex}2+x^4 \geq 2{/jatex} և {jatex}y={\large \frac {10}x}; (0; + \infty ){/jatex} ֆունկցիան նվազող է, ուրեմն {jatex}{\large \frac {10}{2+x^4} }\leq {\large \frac {10}2}=5 {/jatex}:

{jatex}f(x) \leq 5{/jatex}

{jatex}f(0)={\large \frac {10}{2+0^2}}=5{/jatex}

{jatex}\max f(x)=5{/jatex}

3. Քանի որ {jatex}x^2 \geq 0{/jatex}, ուրեմն {jatex}-x^2 \leq 0{/jatex}, ուրեմն {jatex}17-x^2 \leq 17{/jatex} և քանի որ {jatex}y=\sqrt x{/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}0 \leq \sqrt{17-x^2}\leq \sqrt{17}{/jatex}, ուրեմն {jatex}E(f)= \left[ 0 ; \sqrt {17} \right]{/jatex}:

Հաշվի առնելով {jatex}y= \sqrt x{/jatex} ֆունկցիայի աճող լինելը, կունենանք․

{jatex}\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}{/jatex}, այսինքն՝ {jatex}4< \sqrt{17}< 5{/jatex}, ուրեմն {jatex}E(f){/jatex}-ի ամբողջ թվերն են՝ 0; 1; 2; 3; 4։ {jatex}E(f){/jatex}-ի ամբողջ թվերի քանակը ստացվեց 5 հատ։

Քանի որ {jatex}y=\sin x{/jatex} ֆունկցիան {jatex}2 \pi {/jatex} պարբերական է, ուրեմն {jatex}f(x)=\sin \left({ \large \frac {\pi }{10}} \right) {/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi : {\large \frac {\pi}{10}}=20{/jatex} պարբերական՝ {jatex}y=\sin \left( {\large \frac {\pi}{10}}x\right) {/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը 20 է։

Պատասխան՝ 29; 5; 5; 20։

Տրված է {jatex}f(x)=\sqrt{11-x}+ \sqrt{x-3}{/jatex} ֆունկցիան։

1․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում։

2․ Գտնել {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

4․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում։

Լուծում։

1․ Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

{jatex}\begin{cases}
& 11-x \geq 0 \\
& x-3 \geq 0
\end{cases}{/jatex}

{jatex}\begin{cases}
& x \leq 11 \\
& x \geq 3
\end{cases}{/jatex}

{jatex}x \in [3 ; 11]{/jatex}

{jatex}D(f)=[3 ; 11]{/jatex} որում ամբողջ թվերի քանակը 9 հատ է։

2․ {jatex}f^2(x)= \left( \sqrt{11-x} + \sqrt{x-3} \right)^2=11-x+x-3+{/jatex}

{jatex}+2 \sqrt{(11-x)(x-3)}=8+2\sqrt{(11-x)(x-3)} \geq 8{/jatex}

{jatex}f^2(3)=8+2 \sqrt{(11-3)(3-3)}=8{/jatex}

{jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը ստացվեց 8։

3․ {jatex}f^2(x)=8+2\sqrt{(11-x)(x-3)}=8+2\sqrt{-33+11x+3x-x^2}={/jatex}

{jatex}=8+2\sqrt{16-49+14x-x^2}=8+2 \sqrt{16-(x-7)^2}{/jatex}

Քանի որ {jatex}16-(x-7)^2 \leq 16{/jatex} և {jatex}y= \sqrt x{/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}\sqrt{16-(x-7)^2} \leq \sqrt{16}=4{/jatex}:

{jatex}f^2(x)=8+2 \sqrt{16-(x-7)^2}\leq 8+4 \cdot 2=16{/jatex}

{jatex}f^2(7)=8+2\sqrt{16-(7-7)^2}=16{/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության մեծագույն արժեքը 16-ն է։

Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, {jatex}y= \sqrt x {/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը {jatex}\sqrt{16}=4{/jatex}-ն է։

4. Արդեն գիտենք, որ {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը 8-ն է։ Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}\sqrt 8 = 2 \sqrt 2{/jatex}-ն է։ Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան [3; 11] փակ հատվածի վրա է որոշված և անընդհատ է, ուրեմն այն ընդունում է {jatex}2 \sqrt2 ; 4{/jatex} թվերի միջև բոլոր արժեքները՝ {jatex}E(f)=\left[ 2 \sqrt 2; 4 \right] {/jatex}:

{jatex}E(f){/jatex}-ում ամբողջ թվերն են 3-ը և 4-ը, նրանում ամբողջ թվերի քանակը երկուս է։

Պատասխան՝ 9; 8; 4; 2։

{jatex}y=2+(x-a)^2{/jatex} ֆունկցիան (0; 1) միջակայքում աճող է և այդ ֆունկցիայի գրաֆիկն օրդինատների առանցքը հատում է (0; 6) կետում։

1․ Գտնել ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին պատկանող փոքրագույն կենտ թիվը։

2․ Գտնել {jatex}|a|{/jatex}-ն։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [-5; -4] հատվածում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}\large x_0=- \frac 32{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը։

Լուծում։

1․ Քանի որ {jatex}(x-a)^2 \geq 0{/jatex}, ուրեմն {jatex}y=2+(x-a)^2 \geq 2{/jatex}, ուրեմն {jatex}E(y)=[2 ; + \infty ){/jatex}, որում ամենափոքր կենտ թիվը 3-ն է։

2․ Քանի որ ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է (0;6) կետով, ուրեմն

{jatex}6=2+(0-a)^2{/jatex}

{jatex}a^2=4{/jatex}

{jatex}|a|=2{/jatex}

3. Քանի որ {jatex}|a|=2{/jatex}

{jatex}a= \pm 2{/jatex}

ֆունկցիան ունի {jatex}y=2+(x-2)^2{/jatex} կամ {jatex}y=2+(x+2)^2{/jatex} տեսքը։ Որոշենք նրանցից ո՞րն է անհամատեղելի (0; 1) միջակայքում աճելու պայմանի հետ։

Քանի որ {jatex}y=x^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(- \infty ; 0]{/jatex} միջակայքում,  ուրեմն {jatex}y=(x-2)^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(- \infty; 2]{/jatex} միջակայքում, ուրեմն {jatex}y=2+(x-2)^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(- \infty ; 2]{/jatex} նիջակայքում, նաև՝ (0; 1) միջակայքում։ {jatex}a=2{/jatex} դեպքը անհամատեղելի է խնդրի պայմանի հետ։

Ակնհայտ է, որ {jatex}y=(x+2)^2{/jatex} ֆունկցիան աճում է (0; 1) միջակայքում, ուրեմն {jatex}a=-2{/jatex} դեպքը չի հակասում խնդրի պայմանին։

Խնդրի պահանջում տրված ֆունկցիայի տեսքը ստացվեց

{jatex}y=2+(x+2)^2{/jatex}։

Քանի որ {jatex}y=x^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(- \infty ; 0 ]{/jatex} միջակայքում, ուրեմն {jatex}y=(x+2)^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(-\infty; -2]{/jatex} միջակայքում, ուրեմն {jatex}y=2+(x+2)^2{/jatex} ֆունկցիան նվազում է {jatex}(- \infty; -2]{/jatex} միջակայքում և նրա մեծագույն արժեքը {jatex}[-5; -4]{/jatex} միջակայքում հավասար է {jatex}y(-5)=2+(-5+2)^2=11{/jatex}:

4. {jatex}y=2+(x+2)^2{/jatex}

{jatex}y'=2(x+2)=2x+4{/jatex}

{jatex}x_0= - \large \frac 32{/jatex} կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը կլինի հավասար

{jatex}y' \left( - \frac 32 \right)=2\left( -\frac 32 \right) +4=1{/jatex}:

Պատասխան՝ 3; 2; 11; 1։

Տրված է {jatex}f(x)=-x^4+4x^2+9{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

2․ Քանի՞ հատման կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկն աբսցիսների առանցքի հետ։

3․ Քանի՞ կրիտիկական կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան։

4․ Քանի՞ մինիմումի կետ ունի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=- \left( x^4-4x^2+4 \right) + 13={/jatex}

{jatex}=13- \left( x^2-2 \right) ^2 \leq 13{/jatex}

{jatex}f \left( \sqrt 2 \right) = 13- \left( \sqrt 2 ^2 -2 \right)^2=13{/jatex}

Ուրեմն ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը 13-ն է։

2․ Աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար լուծենք {jatex}f(x)=0{/jatex} հավասարումը։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}13- \left( x^2-2 \right) ^2 =0{/jatex}

{jatex}\left( x^2-2 \right)^2=13{/jatex}

{jatex}x^2-2= \pm \sqrt{13}{/jatex}

{jatex}x^2=2 \pm \sqrt {13}{/jatex}

Նկատենք, որ {jatex}2-\sqrt{13}=\sqrt 4 - \sqrt{13}{/jatex}-ը բացասական թիվ է։ {jatex}x^2=2-\sqrt {13}{/jatex} հավասարումը լուծում չունի։

{jatex}x^2=2+ \sqrt{13}{/jatex}

{jatex}x= \pm \sqrt {2+\sqrt {13}}{/jatex}

Ունի երկու լուծում, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը աբսցիսների առանցքը հատում է երկու կետում։

3․ Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}f(x)=x^4+4x^2+9{/jatex}

{jatex}D(f)=( - \infty ; + \infty ){/jatex}

 {jatex}f'(x)=-4x^3+8x{/jatex}, որը որոշման տիրույթի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}-4x^3+8x=0{/jatex}

{jatex}-4x\left( x^2-2 \right)=0{/jatex}

{jatex}-4x \left( x- \sqrt 2 \right) \left( x+ \sqrt 2 \right)=0{/jatex}

{jatex}x \in \left \{ - \sqrt 2 ; 0 ; \sqrt 2 \right \}{/jatex} որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Կրիտիկական կետերի քանակը ստացվեց 3։

4․ Արդեն գտել ենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը և կրիտիկական կետերը։

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(x)=-4x^3+8x{/jatex}

{jatex}f'(-2)=-4 \cdot (-2)^3+8 \cdot (-2)=16>0{/jatex}

{jatex}f'(-1)=-4 \cdot (-1)^3+8 \cdot (-1)=-4<0{/jatex}

{jatex}f(1)=-4 \cdot 1^3+8 \cdot 1 =4>0{/jatex}

 {jatex}f(2)=-4 \cdot 2^3 +8 \cdot 2=-16<0{/jatex}

{jatex}\large x_{min}=0 \quad x_{max}=-\sqrt 2 \quad x_{max}=\sqrt 2{/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ունի մեկ մինիմումի կետ։

Պատասխան՝ 13; 2; 3; 1։

Տրված են {jatex}f(x)=x^3+7x + \ln x{/jatex} և {jatex}g(x)=3x^2{/jatex} ֆունկցիաները։

1․ Գտնել {jatex}f+g{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթին պատկանող ամենափոքր ամբողջ թիվը։

2․ Գտնել {jatex}f(1){/jatex}-ը։

3․ Գտնել {jatex}g{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=0{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի և օրդինատների առանցքի կազմած անկյան աստիճանային չափը։

4․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}[1;8]{/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1․ {jatex}f+g{/jatex} ֆունկցիան կլինի․

{jatex}f(x)+g(x)=x^3+7x+ \ln x + 3x^2{/jatex}

{jatex}D(f+g)=(0; + \infty ){/jatex}

Որում ամենափոքր ամբողջ թիվը կլինի 1-ը։

2. {jatex}f(1)=1^3+7\cdot 1 + \ln 1 = 8{/jatex}

3. {jatex}g(x)=3x^2{/jatex}

{jatex}g'(x)=6x{/jatex}

{jatex}g'(0)=6 \cdot 0=0{/jatex}

{jatex}\text{tg} \varphi=0{/jatex}, որտեղ {jatex}\varphi{/jatex}-ն {jatex}x_0=0{/jatex} կետում {jatex}g{/jatex} ֆունկցիային տարված շոշափողի և աբսցիսների առանցքի կազմած անկյունն է։

{jatex}\varphi =0 \quad (0^{\circ} \leq \varphi < 180^{\circ}){/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}x_0=0{/jatex} կետում {jatex}g{/jatex} ֆունկցիային տարված շոշափողը {jatex}Ox{/jatex} առանցքի հետ կազմում է 0 աստիճանի անկյուն, ուրեմն {jatex}Oy{/jatex} առանցքի հետ կազմում է 90 աստիճանի անկյուն։

4. Քանի որ {jatex}x^3; 7x; \ln x{/jatex} արտահայտությունները {jatex}(0; \infty ){/jatex} միջակայքում աճում են, ուրեմն նրանց գումար հանդիսացող {jatex}f(x)=x^3+7x+\ln x{/jatex} ֆունկցիան {jatex}(0 ; + \infty){/jatex} միջակայքում աճում է, ուրեմն {jatex}\min \limits_{[1; 8]}=f(1)=8{/jatex}

Պատասխան՝ 1; 8; 90; 8։

Տրված է {jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=2{/jatex} կետում։

2․ Գտնել ֆունկցիայի աճման միջակայքի երկարությունը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [2; 4] միջակայքում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=1{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը։

Լուծում։

1. {jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex}

{jatex}f'(x)=-6x^2+18x{/jatex}

{jatex}f'(2)=-6 \cdot 2^2+ 18\cdot 2=12{/jatex}

2. Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex}

{jatex}D(f)=(-\infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=-6x^2+18x{/jatex} որը որոշման տիրույթում իմաստ ունի

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}-6x^2+18x =0{/jatex}

{jatex}\left[ \begin{aligned}

& x=0 \\
& x-3=0
\end{aligned}  \right.{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3
\end{aligned}  \right.{/jatex}

{jatex}x \in \{ 0; 3 \}{/jatex}

Որոնք  {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և հաշվենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

 {jatex}f'(-1)=-6-18=-24<0{/jatex}

 {jatex}f'(1)=-6+18=-12>0{/jatex}

 {jatex}f'(-4)=-6 \cdot 4^2+18 \cdot 4=-24<0{/jatex}

Ֆունկցիան աճում է  {jatex}[0; 3]{/jatex} միջակայքում, նվազում՝  {jatex}(- \infty; 0]{/jatex} և  {jatex}[3; + \infty ){/jatex} միջակայքերում։

Աճման միջակայքի երկարությունը կլինի 3-0=3:

3. Քանի որ  {jatex}f(x){/jatex} ֆունկցիան աճում է  {jatex}[0; 3]{/jatex} միջակայքում և նվազում {jatex}[3; + \infty ){/jatex} միջակայքում, ուրեմն

 {jatex}\max \limits_{[2; 4]}=f(3)=-2\cdot 3^3+9 \cdot 3^2-7=20{/jatex}

4.  {jatex}f(1)=-2+9-7=0{/jatex}

Արդեն հաշվել ենք  {jatex}f'(1)=12{/jatex}

 {jatex}x_0=1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

 {jatex}y=f'(1)(x-1)+f(1){/jatex}

 {jatex}y=12(x-1)+0{/jatex}

 {jatex}y=12x-12{/jatex}

Երբ {jatex}x=0{/jatex} ապա {jatex}y=-12{/jatex}, երբ {jatex}y=0{/jatex} ապա {jatex}x=1{/jatex}:

Շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի  1 և 12 երկարությամբ էջերով ուղղանկյուն եռանկյուն, որի մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 1 \cdot 12 = 6{/jatex}:

Պատասխան՝ 12; 3; 20; 6։