Ակտուալ թեմաներ

Տրված է {jatex}f(x)=-x^2+3x+4{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Հաշվել {jatex}f'(3){/jatex}-ը։

2․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը քանի՞ հատման կետ ունի կոորդինատների առանցքների հետ։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետի աբսցիսը, որում նրա գրաֆիկին տարված շոշափողը զուգահեռ է {jatex}y=-9x+1{/jatex} ուղղին։

4․ Գտնել {jatex}a{/jatex} պարամետրի այն ամենափոքր բնական արժեքը, որի դեպքում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկն ամբողջովին գտնվում է {jatex}y=a{/jatex} ուղղից ներքև։

Լուծում։

1. {jatex}f(x)=-x^2+3x+4{/jatex}

{jatex}f'(x)=-2x+3{/jatex}

{jatex}f'(-3)=-2\cdot (-3)+3=9{/jatex}

2. Եթե {jatex}x=0 \quad f(x)=f(0)=4{/jatex}:

Եթե {jatex}f(x)=0{/jatex} 

{jatex}-x^2+3x+4=0{/jatex}

{jatex}D=9-4 \cdot (-1)\cdot 4=25{/jatex} 

{jatex}\large x_1= \frac{-3-5}{-2}=4 \quad x_2=\frac{-3+5}{-2}=-1{/jatex}

Առանցքների հետ հատման կետերը ստացվեցին {jatex}(0;4);(4;0);(-1;0){/jatex}:

Հատման կետերի քանակը ստացվեց 3։

3․ Որպեսզի շոշափողը լինի զուգահեռ {jatex}y=-9x+1{/jatex} ուղղին նախ հարկավոր է, որ

{jatex}f'(x)=(-9x+1)'{/jatex}

{jatex}-2x+3=-9{/jatex}

{jatex}-2x=-12{/jatex}

{jatex}x=6{/jatex}։

Այնուհետև հարկավոր է, որ {jatex}x=6{/jatex} կետում տարված շոշափողը չհամընկնի {jatex}y=-9x+1{/jatex} ուղղի հետ։

Արդեն հաշվել ենք, որ {jatex}f'(6)=-9{/jatex}:

Հաշվենք {jatex}f(6){/jatex}-ը․

{jatex}f(6)=-6^2+3\cdot 6+4=-14{/jatex}

{jatex}x=6{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(6)(x-6)+f(6){/jatex}

{jatex}y=-9(x-6)-14{/jatex}

{jatex}y=-9x+40{/jatex}, որը չի համընկնում {jatex}y=-9x+1{/jatex} ուղղի հետ, ուրեմն {jatex}x=6{/jatex} կետում տարված շոշափողը իրոք զուգահեռ է {jatex}y=-9x+1{/jatex} ուղղին։

4․ Նախ գտնենք {jatex}E(f){/jatex}-ը։

Գտնենք բոլոր այն {jatex}b{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=b{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}-x^2+3x+4=b{/jatex}

{jatex}x^2-3x+b-4=0{/jatex}

{jatex}D=9-4(b-4)=25-4b{/jatex}

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում, հարկավոր է, որ

{jatex}D \geq 0{/jatex}

{jatex}25-4b \geq 0{/jatex}

{jatex}4b \leq 25{/jatex}

{jatex}b \leq 6,25{/jatex}

{jatex}b \in ( -\infty ; 6,25]{/jatex}

{jatex}E(f)=(-\infty ; 6,25]{/jatex}

{jatex}a{/jatex} ամբողջ թվի համար {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը կլինի ամբողջությամբ {jatex}y=a{/jatex} ուղղից ներքև, եթե {jatex}a=7; 8; 9; ...{/jatex}:

Այդ թվերից ամենափոքրը 7-ն է։

Պատասխան՝ 9; 3; 6; 7։