Ակտուալ թեմաներ

Կատարել առաջադրանքները․

1․ {jatex}y=2x-9{/jatex} ուղիղը շոշափում է {jatex}f(x)=x^2-4x{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գտնել շոշափման կետի աբսցիսը։

2. Գտնել {jatex}f(x)=e^x-x{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

3․ Գտնել {jatex}f(x)=3x^2-6x+13{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}[-3; 0]{/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել {jatex}a{/jatex}-ի ամենափոքր արժեքը, որի դեպքում {jatex}f(x)={\large \frac {x^3}{3}}-3x^2+ax+7{/jatex} ֆունկցիան աճող է ամբողջ թվային առանցքի վրա։

Լուծում։

1․ Շոշափելու պայմանի տեղի ունենալու համար նախ հարկավոր է, որ նրանց ածանցյալները լինեն հավասար․

{jatex} \left( x^2-4x \right)' = (2x-9)'{/jatex}

{jatex}2x-4=2{/jatex}

{jatex}2x=6{/jatex}

{jatex}x=3{/jatex}

Այնուհետև հարկավոր է, որ ածանցյալները հավասար լինելու կետում նրանց արժեքներն էլ լինեն հավասար․

{jatex}y(3)=2 \cdot 3-9=-3{/jatex}

{jatex}f(3)=3^2-4\cdot 3=-3{/jatex}

{jatex}-3=-3{/jatex}-ը ճշմարիտ հավասարություն է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի և {jatex}y=2x-9{/jatex} ուղղի շոշափման կետը {jatex}x=3{/jatex}-ն է։

2․ {jatex}f(x)=e^x-x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}D(f)=(- \infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=e^x-1{/jatex}, որը իմաստ ունի {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր ներքին կետերում։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}e^x-1=0{/jatex}

{jatex}e^x=1{/jatex}

{jatex}x=0{/jatex}, որը {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-1)=e^{-1}-1={\large \frac 1e }-1<0{/jatex}

{jatex}f'(1)=e-1>0{/jatex}

{jatex}\max f(x)=f(0)=e^0-0=1{/jatex}

3. {jatex}f(x)=3\left( x^2-2x+1 \right)-3+13=3(x-1)^2+10{/jatex}

{jatex}f'(x)=6(x-1){/jatex}, որը բացասական է {jatex}[-3; 0]{/jatex} հատվածում, ուրեմն {jatex}[-3;0]{/jatex} միջակայքում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան նվազում է։

{jatex}\min \limits_{[-3; 0]}f(x)=f(0)=3(0-1)^2+10=13{/jatex}

4. {jatex}f'(x)=x^2-6x+a=x^2-6x+9+a-9=(x-3)^2+a-9{/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան կլինի աճող ամբողջ թվային առանցքի վրա, եթե բոլոր {jatex}x{/jatex}-երի համար {jatex}f'(x) \geq 0{/jatex} և {jatex}f(x)=0{/jatex} հավասարությունը տեղի ունենա վերջավոր քանակով կետերում, որն էլ իր հերթին տեղի կունենա, եթե

{jatex}a-9 \geq 0{/jatex}

{jatex}a \geq 9{/jatex}, որին բավարարող {jatex}a{/jatex}-ի ամենափոքր արժեքը կլինի {jatex}a=9{/jatex}-ը։

Պատասխան՝ 3; 1; 13; 9։