Ակտուալ թեմաներ

Տրված է {jatex}f(x)=-8\sin 2x {/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=- {\large \frac 12} \arcsin {\large \frac 34}{/jatex} կետում։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}\large \left[ -\frac {\pi }2 ; 0 \right] {/jatex} միջակայքում։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x= \large \frac {\pi }{2}{/jatex} կետում։

4․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի քանակը {jatex}[0; 3]{/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1. {jatex}x=-{\large \frac 12} \arcsin \large \frac 34{/jatex} արժեքի համար կունենանք {jatex}-2x= \arcsin \large \frac 34{/jatex}, որից օգտվելով էլ կունենանք {jatex}f(x)=-8\sin 2x = 8 \sin (-2x)= 8 \sin \arcsin {\large \frac 34}= 8 \cdot \large \frac 34 = 6{/jatex}:

2. {jatex}x \in \left[ - {\large \frac {\pi}2}; 0 \right] {/jatex} պայմանից կունենանք

{jatex}- \pi \leq 2x \leq 0{/jatex}, այդ պայմանի դեպքում 

{jatex}y=\sin 2x{/jatex} ֆունկցիան կընդունի {jatex}[-1; 0]{/jatex} հատվածի արժեքները,

{jatex}y=8 \sin 2x{/jatex} ֆունկցիան կընդունի {jatex}[-8; 0]{/jatex} հատվածի արժեքները,

{jatex}f(x)=-8 \sin 2x{/jatex} ֆունկցիան կընդունի {jatex}[0; 8]{/jatex} հատվածի արժեքները, որոնցից փոքրագույնը 0-ն է։

3․ {jatex}f(x)=-8 \sin 2x{/jatex}

{jatex}f'(x)=-8 \cos 2x \cdot (2x)'=-16 \cos 2x{/jatex}

{jatex}f' \left( {\large \frac {\pi }2}\right) =- 16 \cos \pi =- 16 \cdot (-1)= 16{/jatex}

4․ {jatex}f(x)=-8 \sin 2x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը․

{jatex}D(f)= (-\infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=-8 \cos 2x \cdot (2x)'=-16 \cos 2x{/jatex}, որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր ներքին կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}-16 \cos 2x =0{/jatex}

{jatex}\cos 2x =0{/jatex}

{jatex}2x = {\large \frac {\pi }2}+ \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}x = {\large \frac {\pi}4+ \frac {\pi k }{2}}; k \in Z{/jatex}, որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Որոշենք կրիտիկական կետերից քանի՞սն են պատկանում {jatex}[0;3]{/jatex} հատվածին։

Երբ {jatex} k=-1 \quad x = \large \frac {\pi}4-\frac {\pi}2=-\frac {\pi}4{/jatex}

Երբ {jatex}k=0 \quad x=\large \frac {\pi}4{/jatex}

Երբ {jatex}k=1 \quad x = \large \frac {\pi }4+ \frac {\pi}2 =\frac {3\pi }4{/jatex}

Երբ {jatex}k=2 \quad x= \large \frac {\pi }4+\frac {\pi \cdot 2}2=\frac {5\pi}4{/jatex}

Երբ {jatex}k=3 \quad x = \large \frac {\pi }4+ \frac {3 \cdot \pi}2=\frac {7\pi }4{/jatex}

[0;3] հատվածում կրիտիկական կետերի քանակը ստացվեց 2 հատ։

Պատասխան՝ 6; 0; 16; 2։