Տրված է {jatex}f(x)= \large \frac {x+4}{x+2}{/jatex} ֆունկցիան։

1. Գտնել {jatex}x{/jatex}-ի բոլոր այն ամբողջ արժեքների քանակը, որոնց դեպքում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքները դրական չեն։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի քանակը։

3․ Գտնել բոլոր այն թվերի քանակը, որոնք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեք չեն։

4․ Գտնել {jatex}y=f(|x|){/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x) \leq 0{/jatex}

{jatex}{\large \frac {x+4}{x+2}}\leq 0{/jatex}

{jatex}x \in [-4; -2){/jatex}

{jatex}[-4; -3){/jatex} միջակայքի ամբողջ թվերն են -4; -3 թվերը։ Քանակը կլինի 2 հատ։

2․ {jatex}\large f(x)=\frac {x+4}{x+2}=\frac {x+2+2}{x+2}=1+ \frac 2{x+2}{/jatex}

{jatex}x+2 \neq 0{/jatex}

{jatex}x \neq -2{/jatex}

{jatex}D(f)=(- \infty ; -2) \cup (-2; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)= \frac {-2}{(x+2)^2}{/jatex} որը իմաստ չունի, երբ

{jatex}(x+2)^2=0{/jatex}

{jatex}x+2=0{/jatex}

{jatex}x=-2{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։

{jatex}{ \large \frac {-2}{(x+2)^2} }=0{/jatex} որը լուծում չունի, քանի որ հավասարման ձախ մասի կոտորակի համարիչը չի կարող հավասարվել 0-ի։

{jatex}x \in \emptyset {/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան չունի կրիտիկական կետ՝ կրիտիկական կետերի քանակը 0 է։

3․ Գտնենք բոլոր այն {jatex}a{/jatex}-երը, որոնց դեպքում {jatex}f(x)=a{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}{\large \frac{x+4}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac{x+2+2}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}1+{\large \frac {2}{x+2}}=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac 2{x+2}}=a-1{/jatex}

որի լուծում ունենալու համար նախ հարկավոր է, որ {jatex}a-1 \neq 0{/jatex}

{jatex}\frac 2{x+2}=a-1{/jatex}

{jatex}\left\{
\begin{aligned}
& x+2=\large \frac 2{a-1} \\
& x+2 \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{
\begin{aligned}
& x={\large \frac 2{a-1}} -2 \\
& x \neq -2
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Այնուհետև լուծում ունենալու համար հարկավոր է, որ 

{jatex}{\large \frac 2{a-1}}-2 \neq -2{/jatex}

Կազմենք համակարգ

{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& {\large \frac 2{a-1}} -2 \neq -2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& {\large \frac 2{a-1}}  \neq 0
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a-1 \neq 0 \\
& 0(a-1) \neq 2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a \neq 1 \\
& 0a \neq 2
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}

{jatex}\left\{  \begin{aligned}
& a \neq 1 \\
& a \in R
\end{aligned}  \right. \quad{/jatex}

 {jatex}a \neq 1{/jatex}

{jatex}a \in (-\infty ; 1 ) \cup (1; + \infty ){/jatex}

{jatex}E(f)= (-\infty ; 1 ) \cup (1; + \infty ){/jatex}

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեք չէ միայն {jatex}y=1{/jatex} թիվը։

4․ {jatex}f(|x|)=1+ \large \frac 2{|x|+2}{/jatex}

Քանի որ {jatex}|x|+2 \geq 2{/jatex} և {jatex}y= {\large \frac 2x}; (0:+ \infty ) {/jatex} ֆունկցիան նվազող է, ուրեմն․

{jatex}\large \frac {2}{|x|+2} \leq \frac 22{/jatex}

{jatex}1+ {\large \frac {2}{|x|+2}} \leq 2{/jatex}

{jatex}f(|x|) \leq 2{/jatex}, նկատենք նաև, որ

{jatex}f(|0|)=1+\frac 2{|0|+2}=2{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\max f(|x|)=2{/jatex}

Պատասխան՝ 2; 0; 1; 2։