Թեորեմ ճշգրիտ եզրերի մասին

Եթե X={x} բազմությունը վերևից (ներքևից) սահմանափակ է, ապա այն ունի ճշգրիտ վերին (ստորին) եզր։

Թվային բազմությունների եզրերը

Եթե դիտարկվող {x} բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի M վերջավոր թիվ, որ բոլոր x ≤ M, ապա ասում են, որ տրված բազմությունը վերևից սահմանափակ է, և M թիվն անվանում են նրա վերին եզր։

Եթե գոյություն ունի այնպիսի m վերջավոր թիվ, որ բոլոր x≥m, ապա ասում են, որ դիտարկվող {x} բազմությունը ներքևից սահմանափակ է։ m թիվն անվանում են նրա ստորին եզր։

Բոլոր վերին եզրերի մեջ հատկապես կարևոր է նրանցից փոքրագույնը, որը մենք կանվանենք ճշգրիտ վերին եզր։

Նման ձևով ստորին եզրերից մեծագույնը կանվանենք ճշգրիտ ստորին եզր։

 

Դեդեկինդի թեորեմը

Հիմնական թեորեմ (Դեդեկինդի)։ Իրական թվերի բազմության մեջ ամեն մի A|A' հատույթի համար գոյություն ունի այդ հատույթն առաջացնող մի b իրական թիվ։ Այս b իրական թիվը կլինի՝

  1. կամ ամենամեծը A ստորին դասի մեջ (այդ ժամանակ A' վերին դասում չկա ամենափոքրը),
  2. կամ ամենափոքրը A' վերին դասի մեջ (այդ դեպքում A ստորին դասում չկա ամենամեծը)։

Հատույթներով սահմանված իռացիոնալ թվերի համեմատությունը

Դիցուք այժմ ունենք երկու իռացիոնալ թվեր՝ a, որը որոշվում է A|A' հատույթով, և b, որը որոշվում է B|B' հատույթով։ Մենք համարելու ենք a>b, եթե A դասն իր մեջ ընդգրկում է B դասն ամբողջությամբ, չհամընկնելով նրա հետ։

Փոքրի գայափարը մուծվում է որպես ածանցյալ գաղափար՝ a<b այն և միայն այն դեպքում, երբ b>a:

Թվերի հավասարությունն ըստ հատույթների

a և b երկու իռացիոնալ թվերը, որոնք համապատասխանաբար որոշվում են A|A' և B|B' հատույթներով, համարվում են միմյանց հավասար, եթե այդ հատույթները նույնական են։

Թվային հատույթը

Դիտարկենք բոլոր ռացիոնալ թվերի բազմության երկու ոչ դատարկ A և A' բազմությունները։ Մենք կենթադրենք, որ նրանք ունեն հետևյալ դասավորվածությունը․

Այդ բազմություններն առաջացնում են հատույթ, եթե

1․ Յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ մտնում է A և A' բազմություններից մեկի և միայն մեկի մեջ։

2․ A բազմության յուրաքանչյուր a թիվ փոքր է A' բազմության a' յուրաքանչյուր թվից։

 A բազմությունը կանվանենք հատույթի ստորին դաս, իսկ A' բազմությունը՝ հատույթի վերին դաս։ Հատույթը կնշանակենք այսպես՝ A|A'

Արմատ 2-ի իռացիոնալ թիվ լինելը, իռացիոնալ թվերի գոյության ապացույցը

Օրինակ։ Չկա այնպիսի 

\[\frac p q\]

բնական թվերով կոտորակ, որի քառակուսին հավասար լինի 2-ի։

 

Այս ապացուցելու համար ենթադրենք հակառակը։ Մենք իրավունք ունենք այն համարել անկրճատելի։ ՈՒրեմն․

\[\frac{p^2}{q^2}=2\]

\[p^2=2q^2\]

ՈՒրեմն p-ն զույգ թիվ է՝

\[p=2r\]

Կատարենք տեղադրում

\[4r^2=2q^2\]

\[2r^2=q^2\]

Ստացվեց, որ q-ն նույնպես զույգ թիվ է, որը հակասում է անկրճատելի կոտորակի գոյությանը։

 

 Գրիր մեր մասին քո կայքում կամ ընկերներին 

Free Joomla template by Ltheme