Ակտուալ թեմաներ

Տրված է {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} Ֆունկցիան։

1. Գտնել ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=3{/jatex} կետում։

2․ Հաշվել {jatex}f'(x){/jatex}-ը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը {jatex}[-1;3]{/jatex} հատվածում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=1{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի և {jatex}Oy{/jatex} առանցքի կազմած անկյան աստիճանային չափը։

Լուծում։

1․ {jatex}x=3{/jatex} կետում {jatex}f(x)=f(3)=2\cdot 3^3-3 \cdot 3^2-7=20{/jatex}

2. {jatex}f'(x)=\left( 2x^3-3x^2-7 \right)' = 6x^2-6x{/jatex}

{jatex}f'(1)=6 \cdot 1^2-6 \cdot 1 = 0{/jatex}

3. Գտնենք {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը․

{jatex}D(f)=(-\infty ; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)=\left( 2x^3-3x^2-7 \right)' = 6x^2-6x{/jatex} որը {jatex}D(f){/jatex}-ի բոլոր կետերում իմաստ ունի։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}6x^2-6x=0{/jatex}

{jatex}6x(x-1)=0{/jatex}

{jatex} \left[ \begin{aligned}
& x=0  \\
& x-1=0
\end{aligned} \right.{/jatex} {jatex}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0  \\
& x=1
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}x \in \{ 0; 1 \}{/jatex} որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Հաշվենք {jatex}f(x)=2x^3-3x^2-7{/jatex} ֆունկցիայի արժեքները {jatex}[-1; 3]{/jatex} հատվածի ծայրակետերում և այդ հատվածի կրիտիկական կետերում։

{jatex}f(-1)=2\cdot (-1)^3-3\cdot (-1)^2-7=-12{/jatex}

 {jatex}f(0)=2 \cdot 0^3-3\cdot 0^2-7=-7{/jatex}

{jatex}f(1)=2\cdot 1^3 -3 \cdot 1^2 -7=-8{/jatex}

{jatex}f(3)=2 \cdot 3^3 - 3\cdot 3^2 -7=20{/jatex}

{jatex}\max \limits_{[-1;3]}f(x)=f(3)=20{/jatex}

4. Արդեն ունենք

{jatex}f(1)=-8; \quad f'(1)=0{/jatex}

{jatex}x_0=1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(1)(x-1)+f(1){/jatex}

{jatex}y=0(x-1)+8{/jatex}

{jatex}y=8{/jatex}

Որն ուղղահայաց է {jatex}Oy{/jatex} առանցքին՝ կազմած անկյան աստիճանային չափը 90 է։

 Պատասխան՝ 20; 0; 20; 90։