Տրված է {jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex} ֆունկցիան։
1․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=2{/jatex} կետում։
2․ Գտնել ֆունկցիայի աճման միջակայքի երկարությունը։
3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը [2; 4] միջակայքում։
4․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=1{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը։
Լուծում։
1. {jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex}
{jatex}f'(x)=-6x^2+18x{/jatex}
{jatex}f'(2)=-6 \cdot 2^2+ 18\cdot 2=12{/jatex}
2. Գտնենք կրիտիկական կետերը
{jatex}f(x)=-2x^3+9x^2-7{/jatex}
{jatex}D(f)=(-\infty ; + \infty ){/jatex}
{jatex}f'(x)=-6x^2+18x{/jatex} որը որոշման տիրույթում իմաստ ունի
{jatex}f'(x)=0{/jatex}
{jatex}-6x^2+18x =0{/jatex}
{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x-3=0
\end{aligned} \right.{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=3
\end{aligned} \right.{/jatex}
{jatex}x \in \{ 0; 3 \}{/jatex}
Որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։
Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և հաշվենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։
{jatex}f'(-1)=-6-18=-24<0{/jatex}
{jatex}f'(1)=-6+18=-12>0{/jatex}
{jatex}f'(-4)=-6 \cdot 4^2+18 \cdot 4=-24<0{/jatex}
Ֆունկցիան աճում է {jatex}[0; 3]{/jatex} միջակայքում, նվազում՝ {jatex}(- \infty; 0]{/jatex} և {jatex}[3; + \infty ){/jatex} միջակայքերում։
Աճման միջակայքի երկարությունը կլինի 3-0=3:
3. Քանի որ {jatex}f(x){/jatex} ֆունկցիան աճում է {jatex}[0; 3]{/jatex} միջակայքում և նվազում {jatex}[3; + \infty ){/jatex} միջակայքում, ուրեմն
{jatex}\max \limits_{[2; 4]}=f(3)=-2\cdot 3^3+9 \cdot 3^2-7=20{/jatex}
4. {jatex}f(1)=-2+9-7=0{/jatex}
Արդեն հաշվել ենք {jatex}f'(1)=12{/jatex}
{jatex}x_0=1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․
{jatex}y=f'(1)(x-1)+f(1){/jatex}
{jatex}y=12(x-1)+0{/jatex}
{jatex}y=12x-12{/jatex}
Երբ {jatex}x=0{/jatex} ապա {jatex}y=-12{/jatex}, երբ {jatex}y=0{/jatex} ապա {jatex}x=1{/jatex}:
Շոշափողով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի 1 և 12 երկարությամբ էջերով ուղղանկյուն եռանկյուն, որի մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 1 \cdot 12 = 6{/jatex}:
Պատասխան՝ 12; 3; 20; 6։