Ակտուալ թեմաներ

Տրված են {jatex}f(x)=\large \frac {100}{1+x^2}{/jatex} և {jatex}g(x)=x^2-4x+50{/jatex} ֆունկցիաները։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

2․ Գտնել {jatex}g{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

3․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում։

4․ {jatex}f{/jatex} և {jatex}g{/jatex} ֆունկցիաների արժեքների տիրույթները քանի՞ ընդհանուր ամբողջ թիվ են պարունակում։

Լուծում։

1․ Եթե {jatex}x=0 \quad f(x)=f(0)=\large \frac {100}{1+0^2}=100{/jatex}

 Եթե {jatex}x \neq 0{/jatex} ապա {jatex}x^2 >0{/jatex}

{jatex}x^2+1>1{/jatex} և քանի որ {jatex}y= \large \frac {100}{x}; (0; +\infty ){/jatex} ֆունկցիան նվազող է, ուրեմն

{jatex}\large \frac {100}{1+x^2}< \frac {100}1{/jatex}

{jatex}f(x)<100{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\max f(x)= f(0)=100{/jatex}

2. {jatex}g(x)=x^2-4x+50=x^2-2\cdot 2x+2^2+46=(x-2)^2+46 \geq 46{/jatex}

{jatex}g(2)=46{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\min g(x)=46{/jatex}

3. Գտնենք բոոր այն {jatex}a{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=a{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}f(x)=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac{100}{1+x^2}}=a{/jatex}

{jatex}{\large \frac{100}{1+x^2}}-a=0{/jatex}

{jatex}{\large \frac {100-a\left(1+x^2 \right)}{1+x^2}}=0{/jatex}

Քանի որ {jatex}x^2 \geq 0{/jatex}, ուրեմն {jatex}1+x^2>0{/jatex}

{jatex}100-a\left( 1+x^2 \right)=0{/jatex}

{jatex}-ax^2+100-a=0{/jatex}

{jatex}ax^2=100-a{/jatex}

{jatex}a=0{/jatex} դեպքում {jatex}100-a=100{/jatex} և հավասարումը լուծում չի ունենա։

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում հարկավոր է, որ {jatex}a \neq 0{/jatex} և {jatex}{\large \frac {100-a}{a}}\geq 0{/jatex}:

Կազմենք համակարգ։

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& a \neq 0 \\
& { \frac {100-a}{a}}\geq 0
\end{aligned} \right.{/jatex}

Լուծենք առանձին։

{jatex}\frac{100-a}{a} \geq 0{/jatex}

{jatex}x \in (0; 100]{/jatex}

Տեղադրենք

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& a \neq 0 \\
& x \in (0; 100]
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}a \in (0; 100]{/jatex}

{jatex}E(f)=(0; 100]{/jatex}, որում ամբողջ թվերն են 1; 2; 3; ․․․; 100, որոնց քանակը կլինի 100 հատ։

4․ Գտնենք {jatex}g(x){/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը։

Գտնենք բոլոր այն {jatex}b{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}g(x)=b{/jatex} հավասարումն ունի լուծում։

{jatex}g(x)=b{/jatex}

{jatex}x^2-4x+50=b{/jatex}

{jatex}x^2-4x+50-b=0{/jatex}

{jatex}D=16-4(50-b)=4b-184{/jatex}

Որպեսզի հավասարումն ունենա լուծում, հարկավոր է, որ {jatex}D \geq 0{/jatex}:

{jatex}D \geq 0{/jatex}

{jatex}4b-184 \geq 0{/jatex}

{jatex}4b \geq 184{/jatex}

 {jatex}b \geq 46{/jatex}

{jatex}b \in [46; + \infty ){/jatex}

{jatex}E(g)=[46; + \infty ){/jatex}

Գտնենք {jatex}E(f)=(0; 100]{/jatex} և {jatex}E(g)=[46;+\infty ){/jatex} բազմությունների հատումը։

{jatex}y \in [46; 100]{/jatex}

Քանի որ 1; 2; 3; ․․․; 100 թվերից այդ հատվածին չեն պատկանում 1; 2; 3; ․․․; 45 թվերը, {jatex}[46; 100]{/jatex} հատվածում ամբողջ թվերի քանակը կլինի հավասար 100-45=55:

Պատասխան՝ 100; 46; 100; 55։