Տրված է {jatex}f(x)=|x-3|-x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=0{/jatex} կետում։

2․ Գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x=4{/jatex} կետում։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկով և կոորդինատական առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսի քառապատիկը։

4․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների գումարը {jatex}[-1; 5]{/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=|x-3|-x{/jatex}

{jatex}f(0)=|0-3|-0=3{/jatex}

2. {jatex}f'(x)=    \begin{cases}
& (x-3-x)' \text{ երբ } x>3 \\
& (-x+3-x)' \text{ երբ } x<3 \\
& \text{իմաստ չունի, երբ } x=3
\end{cases}=    \begin{cases}
& 0 \text{ երբ } x>3 \\
& -2 \text{ երբ } x<3 \\
& \text{իմաստ չունի, երբ } x=3
\end{cases}{/jatex}

{jatex}f'(4)=0{/jatex}

3․ Գտնենք կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը․

{jatex}x \geq 3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f(x)=x-3-x=-3<0{/jatex}

Այդ արժեքների համար աբսցիսների առանցքի հետ հատում չի լինի։

{jatex}x<3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f(x)=-x+3-x=3-2x{/jatex}

{jatex}x<3{/jatex} արժեքների համար {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը հատում է աբսցիսների առանցքը, երբ {jatex}3-2x=0{/jatex}

{jatex}2x=3{/jatex}

{jatex}x=1,5{/jatex} և որը հատում է օրդինատների առանցքը, երբ {jatex}x=0; f(x)=f(0)=|0-3|+0=3{/jatex}:

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիան կոորդինատային առանցքները հատում է {jatex}(0;3){/jatex} և {jatex}(1,5;0){/jatex} կետերում։

{jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի ուղղանկյուն եռանկյուն, որի էջերը հավասար են 1,5 և 3, իսկ մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\large \frac 12 \cdot 1,5 \cdot 3= \frac 94{/jatex}:

Մակերեսի քառապատիկը կլինի հավասար

{jatex}{\large \frac 94} \cdot 4 =9{/jatex}:

4. Քանի որ {jatex}y=-2x+3{/jatex} ֆունկցիան նվազող է, իսկ {jatex}y=-3{/jatex} ֆունկցիան չաճող ֆունկցիա է և նրանք {jatex}x=3{/jatex} կետում ընդունում են նույն արժեքը, ուրեմն {jatex}y=f(x){/jatex} ֆունկցիան չաճող ֆունկցիա է, ուրեմն

{jatex}\max \limits_{[-1; 5]} f(x)=f(-1)=-2 \cdot (-1)+3=5{/jatex}

{jatex}\min \limits_{[-1;5]}f(x)=f(5)=-3{/jatex}

Այդ արժեքների գումարը կլինի հավասար 5+(-3)=2:

Պատասխան՝ 3; 0; 9; 2։