Տրված է {jatex}f(x)=x+\large \frac 4x{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}{\large \frac {f(x)}{f(-x)}}+4{/jatex} արտահայտության արժեքը։

2․ Գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի և {jatex}y=5{/jatex} ուղղի հատման կետերի քանակը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}(0 ; +\infty ){/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել ֆունկցիայի մինիմումի կետերի քանակը։

Լուծում։

1․ Նկատենք, որ {jatex}\large f(-x)=-x+\frac 4{-x}=-\left( x+ \frac 4x \right) = -f(x){/jatex}:

Կունենանք.

{jatex}\large \frac {f(x)}{f(-x)}+4=\frac {f(x)}{-f(x)}+4=-1+4=3{/jatex}:

2. {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի և {jatex}y=5{/jatex} ուղղի հատման կետերի աբսցիսները բավարարում են {jatex}f(x)=5{/jatex} հավասարմանը։

{jatex}f(x)=5{/jatex}

{jatex}x+{\large \frac 4x}=5{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2+4 =5x \\
&x \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2-5x+4=0 \\
& x \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Լուծենք առանձին

{jatex}x^2-5x+4=0{/jatex}

{jatex}D=25-4\cdot 1 \cdot 4=9{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {5-3}{2}=1 \quad x_2=\frac {5+3}{2}=4{/jatex}

{jatex}x \in \{ 1; 4 \}{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x \in \{ 1; 4 \} \\
& x \neq 0 
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

{jatex}x \in \{ 1 ; 4 \}{/jatex}

Ստացանք երկու լուծում, ուրեմն հատման կետերի քանակը 2 հատ է։

3․ Քանի որ {jatex}(0;+\infty ){/jatex} միջակայքում {jatex}x>0{/jatex}, ուրեմն այդ միջակայքում

{jatex}\large f(x)= x+ \frac 4x=\left( \sqrt x \right)^2+ \left( \frac 2{\sqrt x }\right) ^2-2\sqrt x \cdot \frac 2{\sqrt x }+4={/jatex}

{jatex}\large =\left( \sqrt x - \frac 2{\sqrt x}\right)^2+4 \geq 4{/jatex}

{jatex}f(2)=\left( \sqrt 2 - \frac 2 {\sqrt 2}\right)^2+4=4{/jatex} 

{jatex}\min \limits_{(0; + \infty )} f(x)=4{/jatex}

4. {jatex}f(x)=x+ \large \frac 4x{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}x \neq 0{/jatex}

{jatex}D(f)=(-\infty ; 0) \cup (0; + \infty ){/jatex}

{jatex}f'(x)= 1- \large \frac 4{x^2}{/jatex}, որը իմաստ չունի, երբ {jatex}x=0{/jatex}, որը որոշման տիրույթի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}1- \large \frac 4{x^2}=0{/jatex}

{jatex}1= \frac 4{x^2}{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2 \cdot 1 =4 \\
& x^2 \neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x= \pm 2 \\
& x \neq 0
\end{aligned} \right. {/jatex}

{jatex}x = \pm 2{/jatex}, որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-3)=1-\frac 4{3^2}=\frac 59>0{/jatex}

{jatex}f'(-1)=1-\frac 4{1^2}=-3<0{/jatex}

{jatex}f'(1)=1-\frac 4{1^2}=-3<0{/jatex}

{jatex}f'(-3)=1-\frac 4{3^2}=\frac 59>0{/jatex}

{jatex}x_{\max }=-2, \quad x_{\min }= 2{/jatex}

Մինիմումի կետերի քանակը ստացվեց մեկ հատ։

Պատասխան՝ 3; 2; 4; 1։