Տրված է {jatex}f(x)=3 \sin {\large \frac{\pi x}{4}}+4 \cos {\large \frac {\pi x}{4}}{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

3․ Քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը։

4․ Գտնել {jatex}F(x)=|f(x)|{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=3 \sin {\large \frac{\pi x}{4}}+4 \cos {\large \frac {\pi x}{4}}{/jatex}

{jatex}\large f(x)=5 \left( \frac 35 \sin \frac {\pi x }{4}+ \frac 45 \cos \frac {\pi x}{4} \right) {/jatex}

Նշանակենք {jatex}\alpha = \arcsin {\large \frac {4}{5}}{/jatex}

Կունենանք {jatex}\sin \alpha = {\large \frac 45}{/jatex} և {jatex}\alpha \in \large \left[ -\frac {\pi}2 ; \frac {\pi}{2} \right] {/jatex}

{jatex}\cos \alpha = \sqrt {1-\sin^2 \alpha }= \large \sqrt {1- \frac {16}{25}}= \frac 35{/jatex}

Կունենանք {jatex}f(x)=5 \left( \cos \alpha \sin {\large \frac {\pi x }{4}}+ \sin \alpha \cos {\frac {\pi x }{4}}\right) = 5 \sin \left( \large \frac {\pi x }{4} + \alpha \right) {/jatex}։

Քանի որ {jatex}y= \sin x {/jatex} ֆունկցիան {jatex}2\pi {/jatex} պարբերական է, ուրեմն {jatex}y=\sin ( x + \alpha ){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}y=5 \sin ( x+ \alpha ){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2 \pi {/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}f(x)=5 \sin \left({ \large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2 \pi : {\large \frac {\pi }4}=8{/jatex} պարբերական՝ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը 8 է։

2. {jatex}f(x)=5 \sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right) \leq 5{/jatex}

{jatex}f \left( - \frac {4 \alpha }{\pi }+2 \right) = 5 \sin \left( \frac {\pi }{4} \cdot \left( - \frac {-4 \alpha }{\pi } + 2 \right) + \alpha \right) = 5 \sin \frac {\pi}{2}=5{/jatex}, ուրեմն

{jatex}\max f(x)=5{/jatex}

3. Գտնենք բոլոր այն {jatex}b{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=b{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}f(x)=b{/jatex}

{jatex}5 \sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}} + \alpha \right) =b{/jatex}

{jatex}\sin \left( {\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha \right) = \large \frac {b}{5}{/jatex}

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում նախ հարկավոր է, որ {jatex}{\Large \left| \frac b5 \right|} \leq 1{/jatex}։

 {jatex}{\large \frac {\pi x }{4}}+ \alpha = (-1)^n \arcsin b + \pi n ; n \in Z{/jatex}

Այս գծային հավասարումները ունեն լուծում {jatex}b{/jatex}-ի բոլոր թույլատրելի արժեքների համար։

{jatex}{\large \left| \frac b5 \right| } \leq 1{/jatex}

{jatex}-1 \leq {\large \frac b5 } \leq 1{/jatex}

{jatex}-5 \leq b \leq 5{/jatex}

{jatex}E(f)=[-5; 5]{/jatex}, որում ամբողջ թվերն են {jatex}-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5{/jatex}, այսինքն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը պարունակում է 11 ամբողջ թիվ։

4. Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը {jatex}[-5; 5]{/jatex}  հատվածն է, ուրեմն {jatex}F(x)=|f(x)|{/jatex} արժեքների տիրույթը կլինի {jatex}[0; 5]{/jatex} հատվածը, իսկ փոքրագույն արժեքը կլինի 0-ն։

Պատասխան՝ 8; 5; 11; 0։