Տրված է {jatex}f(x)=\sqrt{11-x}+ \sqrt{x-3}{/jatex} ֆունկցիան։

1․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում։

2․ Գտնել {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը։

4․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը քանի՞ ամբողջ թիվ է պարունակում։

Լուծում։

1․ Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

{jatex}\begin{cases}
& 11-x \geq 0 \\
& x-3 \geq 0
\end{cases}{/jatex}

{jatex}\begin{cases}
& x \leq 11 \\
& x \geq 3
\end{cases}{/jatex}

{jatex}x \in [3 ; 11]{/jatex}

{jatex}D(f)=[3 ; 11]{/jatex} որում ամբողջ թվերի քանակը 9 հատ է։

2․ {jatex}f^2(x)= \left( \sqrt{11-x} + \sqrt{x-3} \right)^2=11-x+x-3+{/jatex}

{jatex}+2 \sqrt{(11-x)(x-3)}=8+2\sqrt{(11-x)(x-3)} \geq 8{/jatex}

{jatex}f^2(3)=8+2 \sqrt{(11-3)(3-3)}=8{/jatex}

{jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը ստացվեց 8։

3․ {jatex}f^2(x)=8+2\sqrt{(11-x)(x-3)}=8+2\sqrt{-33+11x+3x-x^2}={/jatex}

{jatex}=8+2\sqrt{16-49+14x-x^2}=8+2 \sqrt{16-(x-7)^2}{/jatex}

Քանի որ {jatex}16-(x-7)^2 \leq 16{/jatex} և {jatex}y= \sqrt x{/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}\sqrt{16-(x-7)^2} \leq \sqrt{16}=4{/jatex}:

{jatex}f^2(x)=8+2 \sqrt{16-(x-7)^2}\leq 8+4 \cdot 2=16{/jatex}

{jatex}f^2(7)=8+2\sqrt{16-(7-7)^2}=16{/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության մեծագույն արժեքը 16-ն է։

Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, {jatex}y= \sqrt x {/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը {jatex}\sqrt{16}=4{/jatex}-ն է։

4. Արդեն գիտենք, որ {jatex}f^2(x){/jatex} արտահայտության փոքրագույն արժեքը 8-ն է։ Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը {jatex}\sqrt 8 = 2 \sqrt 2{/jatex}-ն է։ Քանի որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան [3; 11] փակ հատվածի վրա է որոշված և անընդհատ է, ուրեմն այն ընդունում է {jatex}2 \sqrt2 ; 4{/jatex} թվերի միջև բոլոր արժեքները՝ {jatex}E(f)=\left[ 2 \sqrt 2; 4 \right] {/jatex}:

{jatex}E(f){/jatex}-ում ամբողջ թվերն են 3-ը և 4-ը, նրանում ամբողջ թվերի քանակը երկուս է։

Պատասխան՝ 9; 8; 4; 2։