Տրված է {jatex}f(x)=x|x-4|{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Հաշվել ֆունկցիայի արժեքը {jatex}x=\sqrt 2 + 2{/jatex} կետում։

2․ Քանի՞ հատման կետ ունեն {jatex}y=5{/jatex} ուղիղը և {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը։

3․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը {jatex}[1; 2,5]{/jatex} միջակայքում։

4․ Գտնել {jatex}a{/jatex} պարամետրի ամբողջ արժեքների քանակը, որոնց դեպքում {jatex}y=a{/jatex} ուղիղը {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է ճիշտ երեք կետում։

Լուծում։

1․ {jatex}f(x)=x|x-4|{/jatex}

{jatex}f\left( 2+\sqrt 2 \right)=\left( 2+ \sqrt 2 \right) \left| 2+ \sqrt 2 - 4 \right| ={/jatex}

{jatex}=\left( 2+\sqrt 2 \right) \left| \sqrt 2 - 2 \right|{/jatex}

Քանի որ {jatex}y=\sqrt x {/jatex} ֆունկցիան աճող է, ուրեմն {jatex}\sqrt 2 < \sqrt 4{/jatex}, ուրեմն {jatex}\sqrt 2 < 2{/jatex}, ուրեմն {jatex}\sqrt 2-2<0{/jatex}, ուրեմն {jatex}\left| \sqrt 2 - 2 \right|=2-\sqrt 2{/jatex}:

{jatex}f \left( 2+\sqrt 2 \right) = \left( 2+\sqrt 2 \right) \left( 2-\sqrt 2\right)=2^2-2=2{/jatex}

2. {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի և {jatex}y=5{/jatex} ուղղի հատման կետերը գտնելու համար լուծենք {jatex}f(x)=5{/jatex} հավասարումը։

{jatex}f(x)=5{/jatex}

{jatex}x|x-4|=5{/jatex}

{jatex}\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x-4 \geq 0 \\
& x(x-4)=5
\end{aligned} \right. \\
& \left \{ \begin{aligned}
& x-4 <0 \\
& x(-x+4)=5
\end{aligned}\right.
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x \geq 4 \\
& x^2-4x-5=0
\end{aligned} \right. \\
& \left \{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& x^2-4x+5=0
\end{aligned}\right.
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Լուծենք առանձին

1․ {jatex}x^2-4x-5=0{/jatex}

{jatex}D=16-4\cdot 1 \cdot (-5)=36{/jatex}

{jatex}\large x_1= \frac {4-6}{2}=-1 \quad x_2= \frac {4+6}{2}=5{/jatex}

{jatex}x \in  \left\{-1; 5 \right\}{/jatex}

2. {jatex}x^2-4x+5=0{/jatex}

{jatex}D=16-4\cdot 1 \cdot 5=-4{/jatex}

{jatex}x \in \emptyset{/jatex}

Տեղադրենք

{jatex}\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x \geq 4 \\
& x \in \left\{ -1; 5 \right\}
\end{aligned} \right. \\
& \left \{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& x \in \emptyset
\end{aligned}\right.
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& x \in \{ 5 \} \\
& x \in \emptyset
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}x \in \{ 5 \}{/jatex}

Ստացվեց, որ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան և {jatex}y=5{/jatex} ուղիղը հատվում են մեկ կետում, որի աբսցիսն է {jatex}x=5{/jatex}-ը։

3. Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը, որոնք գտնվում են {jatex}[1; 2,5]{/jatex} հատվածում։

Եթե {jatex}x \in [1; 2,5]{/jatex}, ապա {jatex}x-4<0{/jatex}, ուրեմն {jatex}[1; 2,5]{/jatex} հատվածում 

{jatex}f(x)=x(-x+4)=-x^2+4x{/jatex}

{jatex}f'(x)=-2x+4{/jatex}, որը իմաստ ունի {jatex}[1; 2,5]{/jatex} հատվածում։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}-2x+4=0{/jatex}

{jatex}x=2{/jatex}, որը պատկանում է {jatex}[1; 2,5]{/jatex} միջակայքին և որը որոշման տիրույթի ներքին կետ է, ուրեմն տրիտիկական կետ է։

 Այժմ հաշվենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի արժեքը {jatex}[1; 2,5]{/jatex} հատվածի ծայրակետերում և կրիտիկական կետերում։

{jatex}f(1)=1(-1+4)=3{/jatex}

{jatex}f(2)=2(-2+4)=4{/jatex}

{jatex}f(2,5)=2,5(-1,5+4)=3,75{/jatex}

{jatex}\max \limits_{[1;2,5]}=f(2)=4{/jatex}

4. Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը։

{jatex}D(f)=(- \infty ; + \infty){/jatex}

{jatex}f'(x)= \left\{ \begin{aligned}
& 2x-4 \text{ եթե } x>4 \\
& -2x+4 \text{ եթե } x<4\\
& \text{իմաստ չունի, եթե } x=4
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}x=4{/jatex}-ը որոշման տիրույթի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>4 \\
& 2x-4=0
\end{aligned} \right. \\
& \left \{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& -2x+4=0
\end{aligned}\right.
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>4 \\
& x=2
\end{aligned} \right. \\
& \left \{ \begin{aligned}
& x<4 \\
& x=2
\end{aligned}\right.
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left[ \begin{aligned}
&  x\in \emptyset \\
& x=2
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

{jatex}x=2{/jatex}, որը որոշման տիրույթի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

{jatex}D(f){/jatex}-ը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(0)=-2 \cdot 0 +4=4>0{/jatex}

{jatex}f'(3)=-2 \cdot 3+4=-2<0{/jatex}

{jatex}f'(5)=2\cdot 5-4=2>0{/jatex}

{jatex}x_{max}=2 \quad x_{min}=4{/jatex}

{jatex}y_{max}=f(2)=2|2-4|=4 \quad y_{min}=4|4-4|=0{/jatex}

Ստացված արդյունքները բավական են {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման համար։

 

Ստացված գրաֆիկից երևում է, որ {jatex}y=a{/jatex} ուղիղը կհատի {jatex}y=f(x){/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկին երեք կետում, եթե {jatex}0<a<4{/jatex}:

Այդ պայմանին բավարարող ամբողջ թվերը կլինեն 1; 2; 3 թվերը՝ քանակը կլինի երեք հատ։

Պատասխան՝ 2; 1; 4; 3։