Տրված է {jatex}f(x)=x+ \large \frac {27}{x^3}{/jatex} ֆունկցիան։
1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մինիմումի կետը։
2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի էքստրեմումի արժեքներից մեծագույնը։
3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=-3{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը։
4․ Գտնել {jatex}b{/jatex}-ի բոլոր ամբողջ արժեքների քանակը, որոնցից յուրաքանչյուրի դեպքում {jatex}y=b{/jatex} ուղիղը {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ ընդհանուր կետ չունի։
Լուծում։
1. {jatex}f(x)=x+ \large \frac {27}{x^3}{/jatex}
Գտնենք կրիտիկական կետերը
{jatex}x^3 \neq 0{/jatex}
{jatex}x \neq 0{/jatex}
{jatex}x \in (- \infty ; 0) \cup (0 ; + \infty ){/jatex}
{jatex}D(f)= (- \infty ; 0) \cup (0; + \infty){/jatex}
{jatex}f'(x)=1- \large \frac {81}{x^4}{/jatex} որը իմաստ չունի, երբ
{jatex}x^4 =0{/jatex}
{jatex}x=0{/jatex}, որը {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ չէ, ուրեմն կրիտիկական կետ չէ։
{jatex}f'(x)=0{/jatex}
{jatex}1- \large \frac {81}{x^4}=0{/jatex}
{jatex}\begin{cases}
& x^4-81=0 \\
& x^4 \neq 0
\end{cases} \quad {/jatex}{jatex}\begin{cases}
& x^4=81 \\
& x \neq 0
\end{cases} \quad{/jatex}{jatex}\begin{cases}
& x= \pm 3 \\
& x \neq 0
\end{cases}{/jatex}
{jatex}x= \pm 3{/jatex} որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր են, ուրեմն կրիտիկական կետեր են։
Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետերով տրոհենք միջակայքերի և որոշենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։
{jatex}f'(-4)=1- \large \frac {81}{(-4)^4}=1- \large \frac{81}{256} >0{/jatex}
{jatex}f'(-2)=1-\large \frac {81}{(-2)^4}=1- \large \frac {81}{16}<0{/jatex}
{jatex}f'(2)=1- \large \frac {81}{2^4}= 1-\large \frac {81}{16}<0{/jatex}
{jatex}f'(4)=1-\large \frac {81}{4^4}=1-\large \frac {81}{256}>0{/jatex}
{jatex}x_{min}=3 \quad x_{max}=-3{/jatex}
Մինիմումի միակ կետը ստացվեց 3-ը։
2․ {jatex}y_{min}=f(3)=3+\large \frac {27}{3^3}=4{/jatex}
{jatex}y_{max}=f(-3)=3+\large \frac {27}{(-3)^3}=-4{/jatex}
Էքստրեմումի կետերից մեծագույնը ստացվեց 4-ը։
3․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի {jatex}x_0=3{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի անկյունային գործակիցը կլինի հավասար {jatex}f'(-3){/jatex}-ին։
{jatex}f'(-3)=1-\large \frac {81}{(-3)^4}=0{/jatex}
4. Արդեն գտել ենք էքստրեմումի կետերը, մոնոտոնության միջակայքերը։
Կառուցենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը։
Գրաֆիկից երևում է, որ {jatex}y=b{/jatex} ուղիղը չի հատի {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկը, եթե {jatex}-4<b<4{/jatex}, որին բավարարող ամբողջ թվերն են -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3։ Քանակը ստացվեց 7 հատ։
Պատասխան՝ 3; 4; 0; 7։