Տրված է {jatex}f(x)=\sqrt{30-5x^2}+26{/jatex} ֆունկցիան։

1․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի մաքսիմումի կետը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=1,5{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի և աբսցիսների առանցքի կազմած անկյան աստիճանային չափը։

3․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի {jatex}x_0=-1{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետվ տարված շոշափողի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերի մակերեսը։

4․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետի աբսցիսը, որում տարված շոշափողը զուգահեռ է {jatex}y=-x+\ln 2{/jatex} ուղղին։

Լուծում։

{jatex}f(x)= \sqrt{30-5x^2}+26{/jatex}

Գտնենք կրիտիկական կետերը

{jatex}30-5x^2 \geq 0{/jatex}

{jatex}6-x^2 \geq 0{/jatex}

{jatex}\left( \sqrt 6 - x \right) \left( \sqrt 6 + x \right) \geq 0{/jatex}

{jatex}x \in \left[- \sqrt 6 ; \sqrt 6 \right]{/jatex}

{jatex}f'(x)=\large \frac{\left( 30-5x^2 \right)'}{2\sqrt{30-5x^2}}={/jatex}

{jatex}=\frac {-10x}{2 \sqrt{30-5x^2}}=\frac{-5x}{\sqrt{30-5x^2}}{/jatex}

Ածանցյալը իմաստ չունի երբ {jatex}\sqrt{30-5x^2}=0{/jatex} կամ {jatex}30-x^2 <0{/jatex}:

Կազմենք համախումբ․

{jatex}\left[
\begin{aligned}
& \sqrt {30-5x^2}=0 \\
& 30-5x^2<0
\end{aligned} \right. \quad {/jatex}{jatex}\left[
\begin{aligned}
& 30-5x^2=0 \\
& 30-5x^2<0
\end{aligned} \right.{/jatex}

{jatex}30-5x^2 \leq 0{/jatex}

{jatex}6-x^2 \leq 0{/jatex}

{jatex}\left( \sqrt 6 - x \right) \left( \sqrt 6 + x \right) \leq 0{/jatex}

{jatex}x \in \left( - \infty ; -\sqrt 6\right] \cup \left[ \sqrt 6; + \infty \right) {/jatex}, որոնք {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետեր չեն, ուրեմն կրիտիկական կետեր չեն։

{jatex}f'(x)=0{/jatex}

{jatex}{\large \frac {-5x}{\sqrt{30-5x^2}}}=0{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& -5x=0 \\
& \sqrt{30-5x^2}\neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 30-5x^2 > 0
\end{aligned} \right.{/jatex}

Հատումը կատարենք ստուգման միջոցով։

Երբ {jatex}x=0{/jatex} համակարգի անհավասարման ձախ կողմը կլինի հավասար {jatex}30-5 \cdot 0^2=30{/jatex}:

{jatex}30>0{/jatex}-ն ճշմարիտ անհավասարություն է, ուրեմն {jatex}x=0{/jatex}-ն անհավասարման, ինչպես նաև համակարգի լուծում է։

{jatex}x=0{/jatex}-ն {jatex}D(f){/jatex}-ի ներքին կետ է, ուրեմն կրիտիկական կետ է։

Որոշման տիրույթը կրիտիկական կետով տրոհենք միջակայքերի և հաշվենք ածանցյալի նշանը նրանցից յուրաքանչյուրում։

{jatex}f'(-1)=\frac{5\cdot (-1)}{\sqrt{30-5(-1)^2}}=-1<0{/jatex}

{jatex}f'(1)=\frac {5 \cdot 1}{\sqrt{30-5\cdot 1}}=1>0{/jatex}

{jatex}x_{max}=0{/jatex}

2. {jatex}x_0=1,5{/jatex} աբսցիսն ունեցող կետում տարված շոշափողի {jatex}\varphi {/jatex} անկյունը, որտեղ {jatex}0^{\circ} \leq \varphi < 180^{\circ}{/jatex}, բավարարում է {jatex}tg \varphi =f'(1,5){/jatex} պայմանին։

{jatex}f'(1,5)= {\large \frac {-5 \cdot 1,5}{\sqrt{50-5\cdot(1,5)^2}}}={/jatex}

{jatex}={ \large -\frac{5\cdot 2 \cdot 1,5}{\sqrt{4\cdot 30-5\cdot 4 \cdot (1,5)^2}}= \frac{-15}{\sqrt{120-45}}=\frac {-15}{5\sqrt 3}= }-\sqrt 3{/jatex}

{jatex}tg \varphi =- \sqrt 3 \quad 0^{\circ}\leq \varphi < 180^{\circ}{/jatex}

{jatex}\varphi= 120^{\circ}{/jatex}

Պահանջվող աստիճանային չափը ստացվեց 120։

3․ {jatex}f(-1)=\sqrt{30-5\cdot (-1)^2}+26=31{/jatex}

{jatex}f'(-1)=\large \frac{(-5)(-1)}{30-5 \cdot 1^2}= \frac 5{\sqrt{25}}=1{/jatex}

{jatex}x_0=-1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(-1)(x+1)+f(-1){/jatex}

{jatex}y=1(x+1)+31{/jatex}

{jatex}y=x+32{/jatex}

Եթե {jatex}x=0{/jatex} ապա {jatex}y=32{/jatex}:

Եթե {jatex}y=0{/jatex} ապա {jatex}x=-32{/jatex}:

{jatex}y=x+32{/jatex} ուղղով և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված պատկերը կլինի ուղղանկյուն եռանկյուն, որի էջերը հավասար են 32-ի, ուրեմն մակերեսը կլինի հավասար {jatex}\frac 12 \cdot 32 \cdot 32=512{/jatex}:

4․ Որպեսզի տարված շոշափողը լինի զուգահեռ {jatex}y=-x+\ln 2{/jatex} ուղղին, նախ հարկավոր է, որ {jatex}f'(x)=(-x+ \ln 2 )'{/jatex}

{jatex}{\large \frac {-5x}{\sqrt{30-5x^2}}}=-1{/jatex}

{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& -5x=-\sqrt{30-5x^2} \\
& \sqrt{30-5x^2}\neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{30-5x^2}=5x \\
& \sqrt{30-5x^2}\neq 0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& 30-5x^2=25x^2\\
&5x \geq 0 \\
& 30-5x^2 >0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
& x^2=1\\
& x \geq 0 \\
& 30-5x^2 >0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}{jatex}\left\{ \begin{aligned}
&x=1 \\
& 30-5x^2 >0
\end{aligned} \right. \quad{/jatex}

Համակարգի հատումը կատարենք ստուգման միջոցով։

Եթե {jatex}x=1{/jatex}, ապա անհավասարման ձախ մասից կստացվի {jatex}30-5\cdot 1^2=25{/jatex}, {jatex}25>0{/jatex}-ն ճշմարիտ անհավասարություն է, ուրեմն 1-ը համակարգի անհավասարման արմատ է, ուրեմն 1-ը համակարգի լուծում է։

Ցույց տանք, որ {jatex}x=1{/jatex} կետում տարված շոշափողը չի համընկնում {jatex}y=-x+\ln 2{/jatex} ուղղի հետ։

{jatex}f(1)=\sqrt{30-5 \cdot 1^2}+26=31{/jatex}

{jatex}f'(1)=\large \frac{-5 \cdot 1}{\sqrt{30-5\cdot 1^2}}=-1{/jatex}

{jatex}x=1{/jatex} կետում տարված շոշափողի հավասարումը կլինի․

{jatex}y=f'(1)(x-1)+f(1){/jatex}

{jatex}y=-1(x-1)+31{/jatex}

{jatex}y=-x+32{/jatex}, որը չի համընկնում {jatex}y=-x+ \ln 2{/jatex} ուղղի հետ։

Պատասխան՝ 0; 120; 512; 1։