Տրված է {jatex}f(x)=4 \sqrt 2 \cos \left( 3x+{ \large \frac {\pi}{4}} \right) {/jatex} ֆունկցիան։

1. Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ամենամեծ ամբողջ արժեքը։

2․ Գտնել {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ածանցյալը {jatex}x= {\large \frac {\pi }6 } կետում։{/jatex}

3․ Գտնել {jatex}4 | \cos T |{/jatex} արտահայտության արժեքը, որտեղ {jatex}T{/jatex}-ն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունն է։

4․ {jatex}f{/jatex} ֆունկցիան քանի՞ զրո ունի {jatex}\left[ \frac {\pi}{2}; \frac {3 \pi }2 \right] {/jatex} միջակայքում։

Լուծում։

1․ Գտնենք բոլոր այն {jatex}a{/jatex}-երը, որոնց համար {jatex}f(x)=a{/jatex} հավասարումը ունի լուծում։

{jatex}4 \sqrt 2 \cos \left( 3x + \frac {\pi}4 \right) = a{/jatex}

{jatex}\cos \left( 3x+ \frac {\pi }4 \right) = \frac a{4 \sqrt 2 }{/jatex}

Որպեսզի հավասարումը ունենա լուծում նախ հարկավոր է, որ {jatex}\left| \frac a{4 \sqrt 2 } \right| \leq 1 {/jatex}:

{jatex}3x + \frac {\pi}4 = \pm \arccos \frac a {4 \sqrt 2 }+ 2\pi k ; k \in Z{/jatex}

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումները ունեն լուծում {jatex}a{/jatex} պարամետրի բոլոր թույլատրելի արժեքների համար։

{jatex}\left| \frac a{4\sqrt 2 } \right| \leq 1{/jatex}

{jatex}|a| \leq 4 \sqrt 2{/jatex}

{jatex}-4 \sqrt 2 \leq a \leq 4 \sqrt 2{/jatex}

{jatex}E(f)=\left[ -4\sqrt 2 ; 4 \sqrt 2 \right]{/jatex}

Քանի որ {jatex}4\sqrt 2 = \sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}{/jatex}, իսկ 32-ը չգերազանցող ամբողջ թվի ամենամեծ քառակուսին 25-ն է, ուրեմն {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի ամենամեծ ամբողջ արժեքը կլինի {jatex}\sqrt{25}=5{/jatex}-ը։

 2․ {jatex}f(x)=4 \sqrt 2 \cos \left( 3x + \frac {\pi}4 \right){/jatex}

{jatex}f'(x)=-4\sqrt 2 \sin \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right) \cdot \left( 3x+ \frac {\pi} 4 \right)'=-12\sqrt 2 \sin \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right) {/jatex}

{jatex}f' \left( - \frac {\pi}6 \right) = -12 \sqrt 2 \sin \left( - \frac {3 \pi}{6}+ \frac {\pi}4 \right) =12 \sqrt 2 \sin \frac {\pi}4=12{/jatex}:

3. Քանի որ {jatex}y=\cos x{/jatex} ֆունկցիան {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական է, ուրեմն {jatex}y=4\sqrt 2 \cos x{/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}y=4\sqrt 2 \cos \left( x+ \frac {\pi }4 \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi{/jatex} պարբերական, ուրեմն {jatex}f(x)=4\sqrt 2 \cos \left( 3x+ \frac {\pi}4 \right){/jatex} ֆունկցիան կլինի {jatex}2\pi : 3 = \large \frac {2\pi}{3}{/jatex} պարբերական՝ {jatex}T= \large \frac {2\pi }3{/jatex}:

{jatex}4| \cos T | = 4 \left| \cos{ \large \frac {2\pi}3 } \right| = 4 \left| - \cos \left( \pi - {\large \frac {2\pi }3}\right) \right| = 4 \cdot \large | - \frac 12 | =2{/jatex}

4. Գտնենք {jatex}f{/jatex} ֆունկցիայի զրոները։

{jatex}f(x)=0{/jatex}

{jatex}4 \sqrt 2 \cos \left( 3x + \frac {\pi}4 \right)=0{/jatex}

{jatex}\cos \left( 3x + \frac {\pi }{4}\right) =0{/jatex}

{jatex}3x + \frac {\pi }{4}= \frac {\pi}{2}+ \pi k ; k \in Z{/jatex}

{jatex}x = \frac {\pi }{12}+{ \large  \frac {\pi k}{3}} ; k \in Z{/jatex}

Այժմ որոշենք ո՞ր {jatex}k (k \in Z){/jatex}-երի դեպքում լուծումը կգտնվի {jatex}\large \left[ \frac {\pi }{2}; \frac {3 \pi }{2} \right] {/jatex} միջակայքում։

{jatex}\large \frac {\pi}{2} \leq \frac {\pi}{12}+ \frac {\pi k }{3} \leq \frac {3 \pi }{2}; k \in Z{/jatex}

{jatex}6 \pi \leq \pi + 4 \pi k \leq 18 \pi ; k \in Z {/jatex}

{jatex}6 \leq 1+ 4k \leq 18 ; k \in Z {/jatex}

{jatex}5 \leq 4k \leq 17;  k \in Z {/jatex}

{jatex}1,25 \leq k \leq 4,25;  k \in Z {/jatex}

{jatex}k \in \{ 2; 3; 4 \}{/jatex}, ուրեմն նշված միջակայքում հավասարումն ունի 3 հատ լուծում։

Պատասխան՝ 5; 12; 2; 3։